Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський політехнічний коледж НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання

практичної роботи з теми:

«Графічний метод розв᾽язування задач лінійного програмування»

Підготувала викладач

Ковріга Л.І.

Розглянуто і схвалено на засіданні

предметно-циклової комісії

Протокол № ___ від _________2013 р.

Голова предметно-циклової комісії

__________ Пітель І.М.

2013

Зміст

1. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання, питання для самоконтролю.

2. Основні теоретичні відомості.

3. Завдання для практичної роботи.

4. Приклад виконання практичної роботи.

5. Список рекомендованої літератури.

6. Зміст звіту.

7. Інструкція до проведення практичної роботи.

Тема: Графічний метод розв᾽язування задач лінійного програмування.

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати графічний метод до розв’язування практичних задач лінійного програмування; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка.

Питання для самоконтролю:

1. Формулювання загальної ЗЛП.

2. Різні форми запису ЗЛП (запис за допомогою знака суми, векторно-матричний вигляд, векторна форма, симетрична форма, канонічна форма).

3. Означення допустимого розв'язку ЗЛП, опорного та опти­мального плану.

4. Геометрична інтерпретація ЗЛП.

5. Властивості розв'язків ЗЛП.

6. Алгоритм графічного методу розв'язування ЗЛП.

7. Застосування графічного методу розв'язування ЗЛП при п-т = 2.

Теоретичні відомості

Лінійне програмування є одним з розділів математичного про­грамування.

Лінійне програмування — це наука про методи дослідження та відшукання оптимальних значень лінійної функції, на невідомі якої накладені лінійні обмеження.

1. Постановка загальної задачі лінійного програмування

Формулювання загальної задачі лінійного програмування (ЗЛП)

Задана функція (1)

(1)

(2) (3)

і система лінійних обмежень (2)

Знайти такі невід'ємні значення змінних , які за­довольняють умовам (2), (3) і при яких цільова функція (1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) зна­чення.

Сукупність усіх допустимих розв'язків (планів) ЗЛП утворює область допустимих розв'язків (ОДР) ЗЛП.

Означення. Опорним планом ЗЛП називається план X = ( х₁, х₂,..., х_п), якщо система векторів Аj в при хj > 0, є лінійно незалежною.

Означення. Опорний план називається невиродженим, якщо він задо­вольняє п лінійно незалежних обмежень-строгих рівностей (2). У протилежному випадку опорний план є виродженим.

Означення. Оптимальним планом або оптимальним розв'язком ЗЛП нази­вається план, при якому цільова функція набуває екстремального значення.

2. Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування

Множина точок називається опуклою, якщо вона разом з до­вільними двома точками містить і їх довільну опуклу лінійну ком­бінацію.

Геометричний зміст цього означення полягає в тому, що мно­жині разом з її двома довільними точками повністю належить і прямолінійний відрізок, який їх з'єднує. Прикладами опуклих множин є прямолінійний відрізок, пря­ма, півплощина, круг, куля, куб, півпростір та ін.

Точка множини називається граничною, якщо будь-який окіл як завгодно малого радіуса з центром в цій точці містить як точ­ки, що належать множині, так і точки, які не належать йому. Гра­ничні точки множини утворюють її межу.

Замкнутою називається множина, що містить всі свої граничні точки.

Замкнута множина може бути обмежена і необмежена. Мно­жина називається обмеженою, якщо існує окіл радіуса скінченої довжини з центром у будь-якій точці множини, який повністю містить в собі дану множину. В протилежному випадку множина називається необмеженою.

Кутовими точками опуклої множини називаються точки, що не є опуклою комбінацією двох довільних точок множини.

Приклад.

Кутовими точками трикутника є його вершини. Кутовими точками круга є точки кола, що його обмежує.

З прикладу випливає, що множини можуть мати або скінчен­ну або нескінченну кількість кутових точок.

Пряма, півплощина, площина, півпростір, простір кутових то­чок не мають.

Опуклим многокутником називається опукла замкнута обме­жена множина на площині, що має скінченну кількість кутових точок. Кутові точки многокутника називаються його вершинами, а відрізки, що з'єднують дві вершини і утворюють її межу — сто­ронами многокутника.

Опорною прямою опуклого многокутника називається пряма, що має з многокутником, який розташований по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку. Опуклим многогранником називається опукла замкнута обме­жена множина в просторі (не обов'язково розмірності 3), що має скінченну кількість кутових точок. Кутові точки многогранника називаються його вершинами. Многокутники, що обмежують мно­гогранник, називаються його гранями, а відрізки, по яких перети­наються останні, — ребрами.

Опорною площиною опуклого многогранника називається пло­щина, що має з многогранником, який розташований по одну сто­рону від неї, принаймні одну спільну точку.

Теорема.

Замкнутий, обмежений, опуклий многогранник є опуклою лінійною комбінацією своїх кутових точок.