Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера Системы счисления

Количество цифр, используемых в системе счисления для представления чисел, называется основанием системы счисления. Мы используем десятичную систему: в ней 10 цифр (от 0 до 9), значит, ее основание равно 10. Помимо десятичной, в информатике используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатиричная система счисления (смотри таблицу 1).

Название системы	Основание	Цифры
двоичная	2	0, 1
восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
шестнадцатиричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11),С(12), D(13), E(14), F(15)

Таблица 1

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Допустим, число Х из системы счисления с основанием 10 требуется перевести в систему счисления с основанием р.

Способ 1

1. Число делим на новое основание р. Полученный от деления первый остаток является младшей цифрой числа с основанием р.

2. Целую часть полученного числа снова делим на основание р. В результате определим второй остаток, равный следующей после младшей цифре числа с основанием р.

3. Деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя. Последнее частное дает старшую цифру числа с основанием р.

Пример 1. Перевести число 26₁₀ в двоичную систему счисления. Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 26 на основание новой системы счисления - 2. Остатки от деления выписываем в порядке, обратном их получения. Т. е. остатки от деления образуют искомое число в двоичной системе счисления. Таким образом:

Ответ: 26₁₀ = 11010₂

Пример 2. Перевести число 191₁₀ в восьмеричную систему счисления. Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 191 на основание новой системы счисления - 8. Остатки от деления образуют искомое число в восьмеричной системе счисления.

Ответ: 191₁₀ = 277₈

Способ 2

Этот способ перехода от записи числа в десятичной системе счисления к записи его в двоичной системе состоит в представлении числа в виде суммы степеней двойки и последующем выделении коэффициентов такого представления. Продемонстрируем этот способ на примерах:

1. 27₁₀ = (1· 2⁴ + 1· 2³ +0· 2² +1· 2¹ +1· 2⁰)₁₀ =11011₂

2. 12,25₁₀ = (8 + 4+ 1/4)₁₀ = (2³ + 2² + 2^-2)₁₀ =

= (1· 2³ + 1· 2² + 0· 2¹ + 0· 2⁰ + 0· 2^-1 + 1· 2^-2)₁₀ = 1100,01₂

3. 78₁₀ = 64 + 8 + 4 + 2 = 2⁶ + 2³ + 2² + 2¹ = 1001110₂

Перевод чисел из любой системы в десятичную

1. Пронумеровать цифры числа справа налево, начиная с 0.

2. Каждую цифру умножить на основание системы счисления в той степени, номер которой стоит над цифрой.

3. Результаты сложить.

Пример 1. Перевести число 10110110₂ в десятичную систему счисления.

1. Нумеруем цифры числа справа налево, начиная с 0:

7 6 5 4 3 2 1 0 номера цифр числа

1 0 1 1 0 1 1 0 цифры числа

2. Умножаем каждую цифру на основание системы счисления в той степени, номер которой стоит над цифрой. Поскольку мы переводим число из двоичной системы, то основание системы счисления равно 2.

7 6 5 4 3 2 1 0 номера цифр числа

1 0 1 1 0 1 1 0 цифры числа

1*2⁷ 0*2⁶ 1*2⁵ 1*2⁴ 0*2³ 1*2² 1*2¹ 0*2⁰

3. Складываем результаты:

1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 1*128 + 0*64 + 1*32 + 1*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 0*1 = 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 182

Ответ: 10110110₂ = 182₁₀

Пример 2. Перевести число 352₈ в десятичную систему счисления.

1. Нумеруем цифры справа налево, начиная с 0

2 1 0 номера цифр

3 5 2 цифры числа

2. Умножаем каждую цифру числа на основание системы счисления в той степени, номер которой стоит над цифрой. Поскольку мы переводим число из восьмеричной системы, то основание системы счисления равно 8.

2 1 0 номера цифр

3 5 2 цифры числа

3*8² 5*8¹ 2*8⁰

3. Складываем результаты:

3*82 + 5*81 + 2*80 = 3*64 + 5*8 + 2*1 = 192 + 40 + 2 =234

Ответ: 352₈ = 234₁₀

Пример 3. Перевести число A5F₁₆ в десятичную систему счисления.

1. Нумеруем цифры справа налево, начиная с 0.

2 1 0 номера цифр

A 5 F цифры числа

2. Умножаем каждую цифру на основание системы счисления в той степени, номер которой стоит над цифрой. Поскольку мы переводим число из шестнадцатиричной системы, то основание системы счисления равно 16.

2 1 0 номера цифр

A 5 F цифры числа

А*16² 5*16¹ F*16⁰

3. Складываем результаты. При этом вместо шестнадцатиричных цифр, обозначенных буквами, берем их десятичное значение из таблицы 1.

A*16² + 5*16¹ + F*16⁰ = 10*256 + 5*16 + 15*1 = 2560 +80 + 15 = 2655

Ответ: A5F₁₆ = 2655₁₀