20.5. Дискретные уровни размера завода

В проведенных выше рассуждениях молчаливо предполагалось, что можно выбирать непрерывное количество различных размеров заводов. Таким образом, каждому объему выпуска соответствует единственный оптимальный размер завода. Однако можно посмотреть также, что произойдет, если выбор ограничен лишь несколькими разными размерами завода.

Рис. 20.7

Краткосрочные и долгосрочные средние издержки. Кривая долгосрочных средних издержек есть огибающая кривых краткосрочных средних издержек.

Допустим, например, что имеются четыре различных варианта выбора размера завода, k₁809, k₂810, k₃811 и k₄812. На рис.20.8 изображены четыре различные кривые средних издержек, соответствующих этим размерам завода.

Рис. 20.8

Дискретные уровни размера завода. Как и раньше, кривая долгосрочных издержек является нижней огибающей кривых краткосрочных издержек.

Как можно построить кривую долгосрочных издержек? Вспомним, что кривая долгосрочных средних издержек есть та кривая издержек, которую мы получаем, оптимально изменяя k. В данном случае сделать это нетрудно: поскольку у нас всего четыре различных размера завода, мы просто смотрим, какому из них соответствуют наименьшие издержки, и выбираем именно этот размер завода. Иными словами, для любого объема выпуска y мы просто выбираем такой размер завода, который дает минимальные издержки производства данного объема выпуска.

Долгосрочные предельные издержки. В случае дискретных объемов постоянного фактора фирма выбирает то количество постоянного фактора, которое минимизирует средние издержки. Поэтому кривая долгосрочных предельных издержек будет состоять из различных частей кривых краткосрочных предельных издержек, связываемых с каждым объемом постоянного фактора.

Рис. 20.9

Таким образом, кривая долгосрочных средних издержек должна, как показано на рис.20.8, являться нижней огибающей кривых краткосрочных средних издержек. Обратите внимание на то, что качественный смысл этого рисунка тот же самый, что и рис.20.7: краткосрочные средние издержки всегда по крайней мере не меньше долгосрочных средних издержек, и указанные издержки равны при том объеме выпуска, при котором долгосрочный спрос на постоянный фактор равен имеющемуся у вас количеству постоянного фактора.

20.6. Долгосрочные предельные издержки

Как мы видели в предыдущем параграфе, кривая долгосрочных средних издержек есть нижняя огибающая кривых краткосрочных средних издержек. Что из этого следует применительно к предельным издержкам? Вначале рассмотрим случай с дискретными размерами завода. В этой ситуации кривая долгосрочных предельных издержек состоит, как показано на рис.20.9, из соответствующих кусков кривых краткосрочных предельных издержек. При каждом объеме выпуска мы смотрим, в соответствии с какой кривой краткосрочных средних издержек мы производим, а затем на то, какие предельные издержки связываются с данной кривой.

Это должно быть верно независимо от того, сколько у нас имеется различных размеров завода, так что в случае их непрерывного количества получаем картину, подобную изображенной на рис.20.10. Долгосрочные предельные издержки при любом объеме выпуска y должны равняться краткосрочным предельным издержкам, связанным с размером завода, оптимальным для производства выпуска y.

Рис. 20.10

Долгосрочные предельные издержки. Взаимосвязь между долгосрочными и краткосрочными предельными издержками при непрерывных количествах постоянного фактора.

Краткие выводы

1. Средние издержки представляют собой сумму средних переменных издержек и средних постоянных издержек. Средние постоянные издержки всегда убывают с ростом выпуска, в то время как средние переменные издержки имеют тенденцию возрастать. Итоговым результатом этого является U-образная кривая средних издержек.

2. Кривая предельных издержек лежит под кривой средних издержек в той области, где средние издержки убывают, и над кривой средних издержек в той области, где они возрастают. Следовательно, предельные издержки должны быть равны средним издержкам в точке минимума последних.

3. Площадь под кривой предельных издержек равна переменным издержкам.

4. Кривая долгосрочных средних издержек есть нижняя огибающая кривых краткосрочных средних издержек.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие из следующих утверждений правильны? 1) Средние постоянные из-держки никогда не возрастают с ростом выпуска; 2) средние общие издер-жки всегда больше средних переменных издержек или равны им; 3) средние издержки не могут расти при убывании предельных издержек.

2. Фирма производит одинаковый выпуск на двух различных по мощности заводах. Если предельные издержки производства на первом заводе пре-вышают предельные издержки на втором, то каким образом фирма может сократить издержки, сохранив тот же самый объем выпуска?

3. Верно или неверно? В длительном периоде фирма всегда производит в точке минимума кривой средних издержек для завода, размер которого оптимален для производства заданного объема выпуска.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В тексте утверждалось, что средние переменные издержки равны предельным издержкам производства первой единицы товара. В терминах дифференциального исчисления это утверждение запишется так:

= .

Левая часть этого выражения при y = 0 неопределенна. Но ее предел существует, и мы можем найти его, воспользовавшись правилом л'Опиталя, гласящим, что предел дроби (и числитель, и знаменатель которой стремятся к нулю) задан пределом производных числителя и знаменателя. Применяя это правило, получаем

= = ,

что подтверждает сделанное заявление.

Мы утверждали также, что площадь под кривой предельных издержек дает величину переменных издержек. Это легко показать, используя фундаментальную теорему дифференциального исчисления. Поскольку

813,

мы знаем, что площадь под кривой предельных издержек есть

c_v(y) = dx = c_v(y) — c_v(0) = c_v(y).

Рассуждения по поводу кривых долгосрочных и краткосрочных предельных издержек совершенно ясны с точки зрения геометрии, но каков их экономический смысл? Оказывается, наиболее удачное интуитивное представление на этот счет дает аргументация с позиций дифференциального исчисления. Предельные издержки производства — это не что иное, как изменение издержек, возникающее вследствие изменения выпуска. В коротком периоде мы должны сохранять размер завода (или какой-то другой фактор) постоянным, в то время как в длительном периоде вольны его корректировать. Поэтому долгосрочные предельные издержки будут состоять из двух частей: изменения издержек при постоянном размере завода плюс изменения издержек при изменении размера завода. Однако если размер завода выбран оптимально, этот последний член должен быть равен нулю! Следовательно, долгосрочные и краткосрочные предельные издержки должны быть одинаковы.

Математическое доказательство этого предполагает применение цепного правила. Используя определение, взятое из текста, получаем:

c(y)  c_s(y*, k(y)).814

Взятие производной этого выражения по y дает

815.

Если мы оцениваем эту величину при конкретном объеме выпуска y*816 и связанном с ним оптимальном размере завода, то мы знаем, что

817,

потому что равенство k*818 размеру завода, минимизирующему издержки при объеме выпуска y*819, является необходимым условием первого порядка. Следовательно, второй член в данном выражении превращается в нуль, и остается лишь выражение для краткосрочных предельных издержек:

820.