19.5. Постоянные и квазипостоянные издержки

В гл. 18 мы провели различие между постоянными и квазипостоянными факторами. Постоянные факторы — это факторы, которые должны оплачиваться независимо от того, производится какой-либо выпуск или нет. Квазипостоянные факторы должны оплачиваться только в случае, если фирма решает производить положительный объем выпуска.

Естественно было бы подобным же образом определить постоянные и квазипостоянные издержки. Постоянные издержки — это издержки, связываемые с постоянными факторами: они не зависят от объема выпуска и, в частности, должны оплачиваться независимо от того, производит фирма какой-то выпуск или нет. Квазипостоянные издержки — это издержки, которые тоже не зависят от объема выпуска, но должны оплачиваться только при условии производства фирмой положительного объема выпуска.

В длительном периоде по определению постоянных издержек не бывает, однако вполне могут существовать квазипостоянные издержки. Если началу производства какого-то объема выпуска должна предшествовать затрата какой-то постоянной суммы, то можно говорить о наличии квазипостоянных издержек.

19.6. Невозвратные издержки

Другая разновидность постоянных издержек — невозвратные издержки. Смысл этого понятия лучше всего объяснить на примере. Предположим, что вы решили снять офис в аренду на год. Ежемесячная арендная плата, которую вы обязались платить, есть постоянные издержки, поскольку вы обязаны выплачивать ее независимо от производимого вами объема выпуска. Теперь предположим, что вы решаете обновить офис, перекрасив его и купив мебель. Издержки на краску — это постоянные издержки, но это также и невозвратные издержки, поскольку это выплаты, которые произведены и не могут быть возмещены. С другой стороны, издержки на покупку мебели — не совсем невозвратные, поскольку вы можете перепродать мебель, когда она больше не будет вам нужна. Невозвратной является только разность между стоимостью новой и подержанной мебели.

Чтобы объяснить это более детально, предположим, что вы берете взаймы 20 000 долл. в начале года, скажем, под 10% годовых. Вы подписываете договор об аренде офиса и платите 12000 долл. арендной платы вперед за следующий год 6000 долл. вы тратите на мебель для офиса и 2000 долл. на окраску офиса. В конце года вы возвращаете ссуду в 20000 долл. плюс 2000 долл. процентных платежей и продаете бывшую в употреблении офисную мебель за 5000 долл.

Ваши общие невозвратные издержки включают 12000 долл. арендной платы, 2000 долл. процентных платежей, 2000 долл. на краску, но только 1000 долл. на мебель, поскольку 5000 долл. первоначальных расходов на мебель возместимы.

Разность между невозвратными издержками и возместимыми издержками может быть довольно значительной. Расходы в размере 100 000 долл. на покупку пяти легких грузовиков представляются кучей денег, но если впоследствии они могут быть проданы на рынке подержанных грузовиков за 80 000 долл., фактические невозвратные издержки составят лишь 20 000 долл. Расходы же в 100 000 долл. на приобретение изготовленного по заказу пресса для штамповки каких-то уникальных деталей, при перепродаже которого можно выручить лишь нулевую стоимость, — дело совсем другое; в этом случае все расходы являются невозвратными.

Лучший способ правильно решать эти вопросы — это учитывать все расходы в виде потоков, т.е. спрашивать себя, во сколько обходится ведение бизнеса в течение года. При таком способе учета существует меньшая вероятность забыть учесть стоимость, полученную в результате перепродажи капитального оборудования, и большая вероятность четкого проведения различия между невозвратными издержками и возместимыми издержками.

Краткие выводы

1. Функция издержек c(w₁, w₂, yAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA)BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB показывает минимальные издержки произ-водства данного объема выпуска при заданных ценах факторов.

2. Поведение, направленное на минимизацию издержек, налагает на выбор фирм заметные ограничения. В частности, функции условного спроса на факторы должны иметь отрицательный наклон.

3. Существует тесная взаимосвязь между отдачей от масштаба, демон-стрируемой данной технологией, и поведением функции издержек. Воз-растающая отдача от масштаба подразумевает убывание средних издержек, убывающая отдача от масштаба подразумевает возрастание средних издер-жек и постоянная отдача от масштаба подразумевает постоянные средние издержки.

4. Невозвратные издержки — это издержки, которые не могут быть возмещены.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Докажите, что максимизирующая прибыль фирма будет всегда миними-зировать издержки.

2. Если фирма производит в точке, где MP₁/w₁ > MP₂/w₂CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC, то что она может сделать, чтобы сократить издержки, оставив при этом выпуск без изме-нений?

3. Предположим, что минимизирующая издержки фирма использует два фактора, являющихся совершенными субститутами. Как будут выглядеть функции условного спроса на факторы, если цены обоих факторов оди-наковы?

4. Цена бумаги, используемой минимизирующей издержки фирмой, растет. Фирма отвечает на это изменение цены изменением спроса на некоторые факторы производства, но сохраняет выпуск постоянным. Что произойдет с количеством бумаги, используемым фирмой ?

5. Какое неравенство, характеризующее изменения цен факторов (Dw_iDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD) и спроса на факторы (Dx_iEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE) при заданном объеме выпуска, следует из теории выявленной минимизации издержек для случая использования фирмой n факторов производства (n > 2)?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратимся к рассмотрению предложенной в тексте задачи минимизации издержек, используя технику оптимизации, с которой вы познакомились в гл. 5. Речь идет о задаче минимизации издержек, имеющей вид:

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁, x₂FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

при f(x₁, x₂)709 = yHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH.

Вспомним, что для решения такого рода задач мы пользовались несколькими техническими приемами. Одним из них была подстановка ограничения в целевую функцию. Этим методом по-прежнему можно пользоваться, когда мы имеем дело с функцией конкретного вида f(x₁, x₂)711JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ, однако, в общем случае он имеет ограниченное применение.

Вторым методом был метод множителей Лагранжа, и он прекрасно подходит для решения рассматриваемой задачи. Чтобы применить этот метод, мы строим функцию Лагранжа

L = w₁x₁ + w₂x₂ — (f(x₁, x₂) — y)

и берем ее производные по x₁, x₂ и KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK. Это дает нам условия первого порядка:

w₁ —  = 0,LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

w₂ —  = 0,MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

f(x₁, x₂)716 — y = 0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO. PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

Последнее условие есть не что иное, как ограничение. Мы можем преобразовать первые два уравнения и поделить первое уравнение на второе, получив при этом

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ.

Обратите внимание на то, что это то же самое условие первого порядка, которое мы вывели в тексте: технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов.

Применим этот метод к производственной функции Кобба—Дугласа:

f(x₁, x₂)720 = SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS.

Тогда задача минимизации издержек принимает вид

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁, x₂TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

при = yUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU.

Перед нами конкретный вид задачи для функции особого вида, и мы можем решить эту задачу, используя либо метод подстановки, либо метод Лагранжа. При методе подстановки следует вначале выразить из ограничения x₂VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV как функцию x₁WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW:

x₂XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX = YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY,

а затем подставить полученное выражение в целевую функцию, чтобы перейти тем самым к задаче минимизации без ограничений

min w₁x₁ + w₂ .

x₁ ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

Мы могли бы, как обычно, взять производную этого выражения по x₁ и приравнять ее к нулю. Можно решить полученное в результате этого уравнение, получив x₁ как функцию w₁, w₂AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB и y, чтобы получить функцию условного спроса на x₁CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. Сделать это нетрудно, но алгебра здесь довольно запутанная, и мы не будем выписывать все детали решения задачи указанным методом.

Мы, однако, решим данную задачу методом Лагранжа. Три условия первого порядка представляют собой

w₁ =  DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

w₂ =  EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

y = FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF.

Умножим первое уравнение на x₁ и второе уравнение на x₂GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG, получив при этом

w₁x₁ =  = ay HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

w₂x₂ =  = byIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII,

так что

x₁ =  (19.6)

x₂ =  . (19.7)

Теперь мы воспользуемся третьим уравнением, чтобы получить выражение для JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ.

Подставляя в условие третьего порядка решения для x₁ и x₂KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK, получаем

= y.

Мы можем найти из этого уравнения LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL, получив довольно внушительное выражение

 = ,

которое наряду с уравнениями (19.6) и (19.7) дает нам окончательные решения для x₁ и x₂MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM. Эти функции спроса на факторы будут иметь вид:

x₁(w₁, w₂, yNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN) =

x₂(w₁, w₂, yOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO) = .

Функцию издержек можно найти, записав выражения для издержек при выборе фирмой комбинаций факторов, минимизирующих издержки. Иными словами,

c(w₁, w₂, yPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP) = w₁x₁(w₁, w₂, yQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ) + w₂x₂(w₁, w₂, yRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR).

В результате ряда утомительных алгебраических преобразований мы получаем

c(w₁, w₂, ySSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS) = .

(Не беспокойтесь, этой формулы на итоговом экзамене не будет. Она приведена только для того, чтобы продемонстрировать, как мы получаем точное решение задачи минимизации издержек, применяя метод множителей Лагранжа.)

Обратите внимание на то что с ростом выпуска, издержки будут расти быстрее, чем при линейной зависимости, с той же скоростью, или медленнее, в зависимости от того, является ли a + b величиной меньшей, равной или большей 1. Это имеет смысл, поскольку в зависимости от величины a + b технология Кобба—Дугласа характеризуется убывающей, постоянной или возрастающей отдачей от масштаба.