19.2. Выявленная минимизация издержек

Предположение о том, что фирма выбирает факторы таким образом, чтобы минимизировать издержки производства выпуска, имеет последствия, касающиеся изменения наблюдаемого выбора по мере изменений цен факторов.

Предположим, что из наблюдений нам известны два набора цен ( QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ) и ( RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR) и связанные с ними выбранные фирмой количества факторов ( SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS) и ( TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT). Предположим также, что с помощью каждой из этих выбранных комбинаций факторов производится один и тот же объем выпуска y. Тогда, если каждая выбранная комбинация факторов есть комбинация, минимизирующая издержки при соответствующих ценах, то должно соблюдаться

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

и

VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV.

Если фирма всегда выбирает такой способ производства y единиц выпуска, который минимизирует ее издержки, то комбинации факторов, выбранные фирмой в моменты времени t и s, должны удовлетворять указанным неравенствам. Мы будем называть эти неравенства слабой аксиомой минимизации издержек (Weak Axiom of Cost Minimization WACM).

Запишем второе неравенство в виде

— —  — —

и прибавим его к первому неравенству, получив при этом неравенство

( — ) + ( — )  ( — ) + ( — ) ,

которое может быть преобразовано к виду

( — ) ( — ) + ( — ) ( — )  0.

Используя для изменения спроса на факторы и цен факторов D, мы получаем

Dw₁Dx₁ + Dw₂Dx₂  0.

Это неравенство следует исключительно из предпосылки о поведении, минимизирующем издержки. Оно налагает ограничения на возможные изменения в поведении фирмы при изменении цен факторов и сохранении постоянного объема выпуска.

Например, если цена первого фактора возрастает, а цена второго — остается постоянной, то Dw₂ = 0WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW, так что неравенство приобретает вид

Dw₁Dx₁ = 0.

Если цена фактора 1 возрастает, то, как следует из данного неравенства, спрос на фактор 1 должен сокращаться; следовательно, кривая условного спроса на фактор должна иметь отрицательный наклон.

Что можно сказать о том, как меняются минимальные издержки при изменении параметров задачи? Нетрудно видеть, что с ростом цены любого из факторов издержки должны увеличиваться: если один из факторов становится дороже, а цена другого остается без изменений, то минимальные издержки не могут снижаться и, вообще говоря, будут расти. Аналогичным образом, если фирма решает производить больше выпуска и цены факторов остаются постоянными, то издержки фирмы должны будут расти.

19.3. Отдача от масштаба и функция издержек

В гл. 17 мы обсуждали идею отдачи от масштаба применительно к производственной функции. Вспомним, что технология характеризуется возрастающей, убывающей или постоянной отдачей от масштаба в зависимости от того, является ли f(x₁, x₂)674YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY величиной большей, меньшей или равной tf(x₁, x₂)676 для всех t > 1. Оказывается, существует отчетливо прослеживаемая взаимосвязь между типом отдачи от масштаба, характеризующим производственную функцию, и поведением функции издержек.

Предположим вначале, что мы имеем дело с естественным случаем постоянной отдачи от масштаба. Представьте, что мы решили задачу минимизации издержек для производства одной единицы выпуска, поэтому нам известна функция единичных издержек c(w₁, w₂, 1AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA)BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB. Какой же самый дешевый способ произвести y единиц выпуска? Ответ прост: мы используем каждого фактора просто в y раз больше, чем для производства одной единицы выпуска. Это означает, что минимальные издержки производства y единиц выпуска составят просто c(w₁, w₂, 1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC)yDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD. В случае постоянной отдачи от масштаба функция издержек является линейной по выпуску.

Что если мы имеем дело с возрастающей отдачей от масштаба? В этом случае оказывается, что с возрастанием выпуска издержки возрастают медленнее, чем при линейной зависимости. Если фирма решает произвести выпуск в два раза больше, она может сделать это при менее чем удвоенных издержках, при условии, что цены факторов остаются постоянными. Это естественное следствие идеи возрастающей отдачи от масштаба: если фирма удваивает используемое количество факторов, то она более чем удвоит выпуск. Следовательно, если она хочет произвести выпуск вдвое больше, она сможет сделать это, используя менее чем в два раза больше каждого фактора.

Однако удвоение используемого количества каждого фактора увеличит издержки ровно в два раза. Поэтому увеличение используемого количества каждого фактора менее чем вдвое приведет к возрастанию издержек менее чем в два раза: это говорит нам о том, что функция издержек с ростом выпуска будет возрастать медленнее, чем при линейной зависимости.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, функция издержек с ростом выпуска будет возрастать быстрее, чем при линейной зависимости. С удвоением выпуска издержки более чем удвоятся.

Эти факты могут быть выражены с позиций поведения функции средних издержек. Функция средних издержек — это просто издержки на единицу производства y единиц выпуска:

AC(y) = EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.

Если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то, как мы видели выше, функция издержек имеет вид c(w₁, w₂, yFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF) = c(w₁, w₂, 1GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG)y HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH. Это означает, что функция средних издержек будет иметь вид

AC(w₁, w₂, y) = = c(w₁, w₂, 1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII)JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ.

Иными словами, издержки на единицу выпуска будут постоянными, независимо от того, какой объем выпуска захочет производить фирма.

Если технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то издержки с ростом выпуска растут медленнее, чем при линейной зависимости, так что средние издержки демонстрируют убывающую зависимость от выпуска: с возрастанием выпуска средние издержки производства имеют тенденцию к снижению.

Аналогичным образом, если технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба, средние издержки с ростом выпуска будут возрастать.

Как мы видели ранее, данная технология может иметь области возрастающей, постоянной или убывающей отдачи от масштаба — выпуск при различных объемах производства может расти быстрее с той же скоростью или медленнее, чем масштабы действий фирмы. Подобным же образом при различных объемах производства функция издержек может убывать, оставаться постоянной или возрастать. В следующей главе мы исследуем эти возможности более подробно.

С настоящего же момента нас больше всего будет интересовать поведение функции издержек относительно переменной выпуска. Мы будем представлять цены факторов большей частью фиксированными на некоторых предопределенных уровнях и считать издержки зависящими только от выбора фирмой объема выпуска. Таким образом, во всех остальных главах книги мы будем записывать функцию издержек как функцию одного только выпуска: c(y).