Глава 19 минимизация издержек

Наша цель — изучение поведения фирм, максимизирующих прибыль как в конкурентной, так и в неконкурентной рыночной среде. В предшествующей главе мы начали наше исследование поведения фирмы, нацеленного на максимизацию прибыли в конкурентной среде, непосредственно с изучения задачи максимизации прибыли.

Однако ряд важных умозаключений может быть получен при более косвенном подходе к данной проблеме. Разделим задачу максимизации прибыли на два этапа. Вначале рассмотрим задачу минимизации издержек производства любого заданного объема выпуска, а затем выбор самого прибыльного объема выпуска. В настоящей главе мы проанализируем первый этап решения задачи —минимизацию издержек производства заданного объема выпуска.

19.1. Минимизация издержек

Предположим, что у нас имеется два фактора производства с ценами w₁627 и w₂628 и мы хотим найти самый дешевый способ производства заданного объема выпуска y. Если обозначить используемые количества каждого из двух факторов через x₁ и x₂629, а производственную функцию для фирмы — через f(x₁, x₂)630631, то эту задачу можно записать в виде

min w₁x₁ + w₂x₂

x₁, x₂632

при f(x₁, x₂)633 = y.

При проведении подобного рода анализа следует сделать те же предупреждения, что и в предыдущей главе: убедитесь, что вы включили в подсчет издержек все издержки производства и что все измерения производятся в совместимом временном масштабе.

Решение этой задачи минимизации издержек — величина минимальных издержек, необходимых для достижения определенного объема выпуска, — будет зависеть от w₁, w₂ и y, поэтому мы запишем это решение как c(w₁, w₂, yJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ)635. Эта функция известна как функция издержек, и она будет представлять для нас значительный интерес. Функция издержек c(w₁, w₂, yLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL)637 показывает минимальные издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов, равных (w₁, w₂638).

Чтобы понять решение этой задачи, изобразим функцию издержек и технологические ограничения для фирмы на одном графике. Изокванты дают нам технологические ограничения — все комбинации x₁ и x₂639, с помощью которых можно произвести y.

Предположим, что мы хотим нанести на график все комбинации факторов, дающие один и тот же уровень издержек C. Мы можем записать это в виде выражения

w₁x₁ + w₂x₂ = C640,

которое может быть преобразовано в

x₂ = — x₁641.

Легко увидеть, что это уравнение прямой, имеющей наклон —w₁/w₂642643 и точку пересечения с вертикальной осью C/w₂644. Изменяя число C, мы получаем целое семейство изокост. Каждая точка изокосты выражает одни и те же издержки C, и более высокие изокосты связаны с большими издержками.

Таким образом, наша задача минимизации издержек может быть перефразирована следующим образом: найти на изокванте точку, с которой связана самая низкая изокоста. Такая точка показана на рис.19.1.

Обратите внимание на то, что если оптимальное решение предполагает использование некоторого количества каждого из факторов и если изокванта представляет собой гладкую кривую, то точка минимизации издержек будет характеризоваться условием касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты. Или, пользуясь терминологией гл.17, технологическая норма замещения должна равняться отношению цен факторов:

— = TRS( , ) = — . (19.1)

(В случае краевого решения, когда один из двух факторов не используется, условие касания удовлетворяться не должно. Аналогичным образом, если производственная функция имеет "изломы", условие касания теряет смысл. Эти исключения подобны исключениям в ситуации с потребителем, поэтому в настоящей главе мы не будем акцентировать внимание на указанных случаях.)

Рис. 19.1

Минимизация издержек. Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки производства, может определяться нахождением на изокванте точки, связываемой с самой низкой изокостой.

Алгебра, скрывающаяся за уравнением (19.1), трудностей не представляет. Рассмотрим любое изменение структуры производства (Dx₁, Dx₂UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU), при котором выпуск остается постоянным. Такое изменение должно удовлетворять уравнению:

MP₁( , )Dx₁ + MP₂( , )Dx₂ = 0. (19.2)

Обратите внимание на то, что Dx₁VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV и Dx₂WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW должны иметь противоположные знаки; если вы увеличиваете используемое количество фактора 1, то для сохранения выпуска неизменным вам придется уменьшить используемое количество фактора 2.

Если мы находимся в точке минимума издержек, то данное изменение не может привести к снижению издержек, поэтому должно соблюдаться условие:

w₁Dx₁ + w₂Dx₂  0. (19.3)

Теперь рассмотрим изменение (—Dx₁, —Dx₂XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY), при котором также производится постоянный объем выпуска и издержки также не могут снижаться. Это подразумевает, что

—w₁Dx₁ — w₂Dx₂  0. (19.4)

Сложив выражения (19.3) и (19.4), получим

w₁Dx₁ + w₂Dx₂ = 0. (19.5)

Решение уравнений (19.2) и (19.5) для Dx₂/Dx₁ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ дает нам

= — = — ,

а это не что иное, как условие минимизации издержек, выведенное выше путем геометрических рассуждений.

Обратите внимание на некоторое сходство рис. 19.1 с решением задачи потребительского выбора, графически изображенным ранее. Хотя эти решения и выглядят одинаково, на самом деле они относятся к разным задачам. В задаче потребительского выбора прямая являлась бюджетным ограничением, и потребитель в поисках наиболее предпочитаемого положения двигался вдоль бюджетного ограничения. В задаче с производителем изокванта представляет собой технологическое ограничение, и производитель в поисках оптимального положения перемещается вдоль изокванты.

Выбор количеств факторов, минимизирующих издержки фирмы, вообще говоря, зависит от цен факторов и от того объема выпуска, который фирма хочет производить, поэтому мы записываем эти выбранные количества факторов в виде x₁(w₁, w₂, yAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA)BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB и x₂(w₁, w₂, yCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC)DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD. Это так называемые функции условного спроса на факторы, или функции производного спроса на факторы. Они показывают взаимосвязь между ценами и выпуском и оптимальный выбор фирмой количества факторов при условии производства фирмой заданного объема выпуска y.

Обратите особое внимание на различие между функциями условного спроса на факторы и функциями спроса на факторы, максимизирующего прибыль, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Функции условного спроса на факторы показывают выбор, минимизирующий издержки при заданном объеме выпуска; функции же спроса на факторы, максимизирующего прибыль, показывают выбор, максимизирующий прибыль при заданной цене фактора.

Функции условного спроса на факторы, как правило, не являются непосредственно наблюдаемыми: они представляют собой гипотетическое построение и отвечают на вопрос, сколько каждого фактора использовала бы фирма, если бы хотела произвести заданный объем выпуска самым дешевым способом. Однако функции условного спроса на факторы полезны в качестве способа отделения задачи определения оптимального объема выпуска от задачи определения метода производства, минимизирующего издержки.

ПРИМЕР: Минимизация издержек для случаев конкретных технологий

Предположим, что мы рассматриваем технологию, при которой факторы производства являются совершенными комплементами, так что f(x₁, x₂)655 = = min {x₁, x₂}FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF.Тогда, если мы хотим произвести y единиц выпуска, нам явно потребуется y единиц x₁GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG и y единиц x₂HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH. Следовательно, минимальные издержки производства будут равны

c(w₁, w₂, y) = w₁y + w₂y = (w₁ + w₂)y. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Что можно сказать о случае технологии с использованием совершенных субститутов f(x₁, x₂)660 = x₁ + x₂KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK? Поскольку товары 1 и 2 выступают в производстве совершенными субститутами, ясно, что фирма будет использовать тот из них, который дешевле. Поэтому минимальные издержки производства y единиц выпуска составят w₁yLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL или w₂yMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM в зависимости от того, какая из этих двух величин меньше. Другими словами:

c(w₁, w₂, y) = min{w₁y, w₂y} = min{w₁, w₂}y.

Наконец, рассмотрим технологию Кобба—Дугласа, описываемую формулой f(x₁, x₂)664 = OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO. В этом случае мы можем применить технику дифференциального исчисления, чтобы показать, что функция издержек примет вид

c(w₁, w₂, yPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP) = K ,

где K есть константа, зависящая от a и от b. Подробности этого исчисления представлены в приложении.