28.7. Относительные цены

Как мы видели выше, закон Вальраса означает, что в модели общего равновесия для k товаров имеется только k — 1 независимых уравнений: если спрос равняется предложению на k — 1 рынках, то спрос должен быть равен предложению на последнем рынке. Но если у нас имеется k товаров, надо определить k цен. Как можно найти решение для k цен, имея только k — 1 уравнений?

Ответ заключается в том, что на самом деле имеется только k — 1 независимых цен. В гл.2 мы видели, что при умножении всех цен и дохода на положительное число t бюджетное множество не изменится и, следовательно, не изменится и набор спроса. В модели общего равновесия доход каждого потребителя есть просто стоимость его начального запаса по рыночным ценам. Умножив все цены на t>0, мы автоматически умножим на t доход каждого потребителя. Следовательно, если мы находим какую-либо равновесную совокупность цен ( , 1637), то, для любого t > 0, (t , t 1638) также будут равновесными ценами.

Это означает, что мы вольны выбрать одну из цен и приравнять ее к константе. В частности, зачастую удобно бывает приравнять одну из цен к 1, так что все остальные цены можно толковать как измеряемые относительно нее. Как мы видели в гл.2, такую цену называют ценой-измерителем. Выбор первой цены в качестве цены-измерителя — все равно что умножение всех цен на константу t = 1/p₁1639.

Можно ожидать, что, исходя из требования равенства спроса предложению на каждом рынке, удастся определить только относительные равновесные цены, поскольку умножение всех цен на положительное число не изменит ничьего поведения в отношении спроса и предложения.

ПРИМЕР: Алгебраический пример равновесия

Функция полезности Кобба—Дугласа, описанная в гл.6, имеет вид u_A( , ) = = 1640 для индивида A и аналогичный вид для индивида B. Как мы видели в указанной главе, эта функция полезности порождает следующие функции спроса:

(p₁, p₂, m_A) = a

(p₁, p₂, m_A) = (1 — a)

(p₁, p₂, m_B) = b

(p₁, p₂, m_B) = (1 — b) ,

где a и b — параметры функций полезности для двух потребителей.

Нам известно, что в равновесии денежный доход каждого индивида задается стоимостью его начального запаса:

m_A = p₁ + p₂

1641

m_B = p₁ + p₂ .1642

Следовательно, функции совокупного избыточного спроса на два товара имеют вид

z₁(p₁, p₂) = a + b — —

= a + b — —

и

z₂(p₁, p₂) = (1 — a) + (1 — b) — —

= (1 — a) + (1 — b) — — .

Вам следует проверить, удовлетворяют ли эти функции совокупного спроса закону Вальраса.

Выберем p₂1643 в качестве цены-измерителя, так что эти уравнения примут вид

z₁(p₁, 1) = a + b — —

z₂(p₁, 1) = (1 — a)(p₁ + ) + (1 — b)(p₁ + ) — — .

Единственное, что мы здесь сделали, это установили p₂ = 11644.

Теперь у нас имеется уравнение для избыточного спроса на товар 1 z₁(p₁, 1)1645, и уравнение для избыточного спроса на товар 2 z₂(p₁, 1)1646, причем каждое из уравнений выражено как функция относительной цены товара 1 p₁1647. Чтобы найти равновесную цену, мы приравниваем правую часть любого из этих уравнений к нулю и решаем полученное уравнение для p₁1648. Согласно закону Вальраса, мы должны получить одну и ту же равновесную цену, независимо от того, какое уравнение решаем.

Равновесная цена оказывается следующей:

= .

(Скептики могут подставить это значение p₁1649 в уравнения, выражающие равенство спроса предложению, с тем, чтобы удостовериться, что данное решение удовлетворяет этим уравнениям.)