30.3. Максимизация благосостояния

Раз у нас имеется функция благосостояния, можно рассмотреть задачу максимизации благосостояния. Воспользуемся обозначением 1196, чтобы указать, сколько товара j имеется у индивида i, и предположим, что существует n потребителей и k товаров. Тогда распределение x состоит из перечня количеств каждого из товаров, имеющихся у каждого из индивидов.

Если распределению между индивидами подлежит общее количество X¹, ..., X^k1197 товаров 1, ..., k, можно сформулировать задачу максимизации благосостояния следующим образом:

max W(u₁(x), ..., u_n(x))1198

при = X¹



= X^k.

Таким образом, мы пытаемся найти практически осуществимое распределение, которое бы минимизировало общественное благосостояние. Какими свойствами обладает такое распределение?

Первое, что необходимо отметить, — это то, что распределение максимального благосостояния должно быть эффективным по Парето. Доказать это не составляет труда: предположим, что это не так. Тогда существовало бы какое-то другое практически осуществимое распределение, которое давало бы каждому по меньшей мере такую же полезность, а кому-то — полезность строго большую. Однако функция благосостояния является возрастающей функцией полезности каждого из индивидов. Поэтому новому распределению должно было бы соответствовать более высокое благосостояние, что противоречит нашему предположению о максимальности исходного благосостояния.

Эту ситуацию можно проиллюстрировать с помощью рис.30.1, на котором множество U обозначает множество возможных полезностей для случая двух индивидов. Это множество известно как множество возможных полезностей. Граница этого множества — граница возможных полезностей — есть множество уровней полезности, связываемых с распределениями, эффективными по Парето. Если какое-то распределение находится на границе множества возможных полезностей, то не существует других практически осуществимых распределений, которые приносили бы обоим индивидам большую полезность.

На этом графике кривые безразличия называются кривыми равного благосостояния, так как они представляют те распределения полезности, которые дают постоянный уровень благосостояния. Как обычно, точка оптимума характеризуется условием касания. Однако для наших целей важно то, что эта точка максимального благосостояния является эффективной по Парето — она должна находиться на границе множества возможных полезностей.

Максимизация благосостояния. Распределение, максимизирующее функцию благосостояния, должно быть эффективным по Парето.

Рис. 30.1

Следующее наблюдение, которое можно сделать на основе данного графика, состоит в том, что любое распределение, эффективное по Парето, должно быть точкой максимума благосостояния для некой функции благосостояния. Пример этого приведен на рис.30.2.

На рис.30.2 мы выбрали распределение, эффективное по Парето, и нашли множество кривых равного благосостояния, для которого это распределение является точкой максимального благосостояния. На самом деле можно кое-что добавить к сказанному. Если, как показано на рисунке, множество возможных распределений полезности является вогнутым, то каждая точка на границе этого множества есть точка максимума благосостояния для функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей. Таким образом, функция благосостояния дает способ выделения распределений, эффективных по Парето: каждая точка максимума благосостояния есть распределение, эффективное по Парето, и каждое распределение, эффективное по Парето, есть точка максимума благосостояния.

Рис. 30.2

Максимизация функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей. Если множество возможных полезностей является вогнутым, то каждая точка, эффективная по Парето, является точкой максимума функции благосостояния, представляющей собой взвешенную сумму полезностей.