27.3. Смешанные стратегии

Однако расширив наше определение стратегий, для этой игры можно найти новый род равновесия Нэша. До сих пор мы полагали, что каждый игрок выбирает стратегию раз и навсегда. Иными словами, каждый игрок делает выбор и придерживается его. Это называется чистой стратегией.

Можно представить себе дело и по-другому, допустив, что игроки выбирают стратегии случайно — приписывают каждому выбору определенную вероятность и разыгрывают выбранные стратегии в соответствии с этими вероятностями. Например, A мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "верх" и в течение 50% времени — стратегии "низ", в то время, как B мог бы предпочесть в течение 50% времени следовать стратегии "слева" и в течение 50% времени — стратегии "справа". Такого рода стратегия называется смешанной.

Если A и B будут придерживаться указанных выше смешанных стратегий, следуя каждой из выбранных ими стратегий в течение половины времени, то с вероятностью 1/4 они закончат игру в каждой из четырех ячеек платежной матрицы. Следовательно, средний выигрыш для A будет равен 0, а для B — 1/2.

Равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях — такое равновесие, в котором каждый игрок выбирает оптимальную частоту разыгрывания своих стратегий при заданной частоте разыгрывания выбранных стратегий другим игроком.

Можно показать, что в тех играх, которые мы рассматриваем в этой главе, всегда будет существовать равновесие по Нэшу при смешанных стратегиях. Поскольку при смешанных стратегиях равновесие по Нэшу существует всегда и поскольку этому понятию многие интуитивно доверяют, данное понятие равновесия очень широко используется в анализе игрового поведения. Можно показать, что если в примере, описанном в табл.27.3, игрок A будет следовать стратегии "верх" с вероятностью 3/4 и стратегии "низ" с вероятностью 1/4, а игрок B — следовать стратегии "слева" с вероятностью 1/2 и стратегии "справа" — с вероятностью 1/2, это и будет равновесием по Нэшу.

27.4. Дилемма заключенного

Другая проблема связана с тем, что если в игре имеется равновесие по Нэшу, оно не обязательно ведет к исходам, эффективным по Парето. Рассмотрим, например, игру, описанную в табл.27.4. Эта игра известна как дилемма заключенного. В первоначальной версии игры рассматривалась ситуация, в которой двоих заключенных — соучастников преступления — допрашивают в отдельных комнатах. У каждого из заключенных имеется выбор: либо признаться в преступлении и тем самым впутать другого, либо отрицать свое участие в преступлении. Если признается лишь один из заключенных, его освободят, и обвинение падет на другого заключенного, которого приговорят к 6 месяцам тюремного заключения. Если оба заключенных будут отрицать свою причастность к преступлению, обоих продержат в тюрьме по 1 месяцу в связи с соблюдением формальностей, а если оба игрока признаются, обоих приговорят к 3 месяцам тюремного заключения. Платежная матрица для этой игры приведена в табл.27.4. Записи в каждой клетке матрицы представляют полезность, приписываемую каждым из игроков различным срокам пребывания в тюрьме, которую мы для простоты будем считать продолжительностью их тюремного заключения, взятой со знаком "минус".

Поставьте себя на место игрока A. Если игрок B решит отрицать, что совершил преступление, то, конечно, вам лучше признаться, так как тогда вас освободят. Подобным же образом если игрок B признается, то вам лучше признаться, так как в этом случае вас приговорят не к 6 месяцам тюремного заключения, а только к 3. Следовательно, что бы ни делал игрок B, игроку A выгоднее признаться.

Табл. 27.4

Дилемма заключенного

	Игрок B
	Признаться	Отрицать
Признаться	—3, —3	0, —6
Отрицать	—6, 0	—1, —1

То же самое можно сказать и об игроке B — ему тоже выгоднее признаться. Следовательно, единственное равновесие по Нэшу в этой игре — исход, при котором оба игрока признаются. В действительности исход, при котором оба игрока признаются, — это не только равновесие по Нэшу, но и равновесие при доминирующих стратегиях, поскольку у каждого игрока имеется один и тот же оптимальный выбор, независимый от выбора другого игрока.

Но если бы они оба держали язык за зубами, им обоим это было бы выгоднее! Если бы они оба могли быть уверены в том, что другой промолчит, и договорились бы между собой не признаваться, то выигрыш каждого составил бы —1, что было бы выгодно обоим. Стратегия ("отрицать", "отрицать") эффективна по Парето, другой стратегии, которая была бы выгодна сразу обоим, нет, в то время, как стратегия ("признаться", "признаться") неэффективна по Парето.

Проблема состоит в том, что заключенные лишены возможности координировать свои действия. Если бы каждый из них мог доверять другому, благосостояние обоих повысилось бы.

Дилемма заключенного применима к широкому кругу экономических и политических явлений. Рассмотрим, например, проблему контроля над вооружением. Можно интерпретировать стратегию "признаться" как "развертывать новые ракеты", а стратегию "отрицать" — как "не развертывать новые ракеты". Обратите внимание на то, что выигрыши вполне подходят для такой игры. Если мой противник развертывает свои ракеты, я, конечно, захочу развертывать свои несмотря на то, что наилучшей стратегией для нас обоих было бы придти к соглашению о неразвертывании ракет. Однако если не существует способа заключить соглашение, реально обязывающее его участников к выполнению, мы в итоге оба развернем ракеты и благосостояние обоих понизится.

Другой хороший пример применения дилеммы заключенного — проблема мошенничества в картеле. Теперь можно интерпретировать "признаться" как "превысить квоту выпуска", а "отрицать" — как "придерживаться первоначальной квоты". Если вы думаете, что другая фирма собирается придерживаться своей квоты, вам выгоднее превысить свою квоту. А если вы думаете, что другая фирма превысит свою квоту выпуска, то и вы тоже можете это сделать!

Дилемма заключенного вызвала большие споры в отношении того, как же "правильно", или, точнее, как разумнее играть в эту игру. Ответ, похоже, зависит от того, разыгрывается ли игра в течение одного периода или повторяется бесконечное число раз.

Если в игру играют только один раз, то разумной представляется стратегия нарушения условий соглашения — в рассматриваемом примере это стратегия "признаться". В конце концов, что бы ни делал другой, вам выгоднее следовать данной стратегии, и у вас нет способа повлиять на поведение другого игрока.