Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Метод 1.0 , где

Здесь n- число испытаний, -независимые стандартные равномерно распределенные на интервале [0,1] случайные числа.

Метод 2.0 ,

где k- количество событий в n испытаниях,  имеет плотность вероятности .  формируется из  путем соответствующего нелинейного преобразования на основе метода обратных функций или метода Неймана.

Метод 3.0. Пусть функция f(x) вписана в прямоугольник: a<x<b, 0<y<M. Формируем пару равномерно распределенных чисел , рассматривая их как координаты случайной точки в прямоугольнике. Затем подсчитываем количество точек k, попавших под кривую f(x), т.е. при выполнении условия в n испытаниях. Тогда

Стандартные функции maxima для генерации случайных величин.

random(А) — формирует псевдослучайное число, равномерно распределенное между 0 и А. Тип генерируемых значений (целый или вещественный) совпадает с типом аргумента А.

random_normal(m,s) формирует гауссовскую случайную величину с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением s;

random_normal(m,s,n) формирует n гауссовских случайных величин с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением s.

random_chi2(n,m) формирует m случайных величин с законом распределения с n степенями свободы.

random_exp(,m) формирует m случайных величин с экспоненциальным законом распределения с n степенями свободы.

random_gamma(с,1,n) формирует n случайных величин с гамма распределением, с — параметр формы.

random_poisson (,n) формирует n случайных величин с пуассоновским распределением.

random_binomial(k,p,m) формирует m случайных величин с биномиальным распределением.

Задания.

1. Сформировать гауссовский случайный процесс из 200 независисмых случайных чисел. Построить график процесса. Найти матожидание и дисперсию процесса.

2. Сформировать релеевский процесс из 100 независимых случайных чисел согласно алгоритму = . Вычислить первый и второй начальные моменты и сравнить с теоретическими значениями.

3. Сформировать процесс с распределением, используя функцию rchisq(NN,n), где NN=100 объем выборки, n – число степеней свободы. Вычислить мат. ожидание и дисперсию процесса, сравнить их с теоретическими значениями.

4. Сформировать процесс с экспоненциальным распределением, используя функцию rexp(NN, ) (randon_exp(,NN)). NN - объем выборки, - параметр распределения. (=1, 2) . Вычислить мат. ожидание и дисперсию процесса, сравнить их с теоретическими значениями.

5. Сформировать процесс с _n распределением согласно алгоритму , _kN(0,1). Вычислить первый и второй начальные моменты и сравнить с теоретическими значениями.

6. Сформировать процесс с гамма-распределением при различных значениях параметра “с”.

7. Сформировать 100 значений пуассоновской случайной величины с параметром =0.4, 1, 8

8. Сформировать 100 значений биномиальной случайной величины с параметрами p=0.4, k=4, 20, 100.

Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. .

Пример выполнения заданий

Сформировать гауссовский случайный процесс из 200 независисмых случайных чисел. Построить график процесса. Найти матожидание и дисперсию процесса

load(distrib);

N:1000;

x:random_normal(0,1,N)$

или

x:makelist(sum(random(1.0),k,1,12)-6,i,1,N)$

t:makelist(i,i,1,N)$

wxplot2d([discrete,t,x]);

m:sum(x[i],i,1,N)/N;

d:sum((x[i])^2,i,1,N)/(N);

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1. ВЫБОРОЧНЫЕ МОМЕНТЫ. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. Набор значений измеряемой величины , полученный при п -кратном повторении эксперимента, называется реализацией выборки. Можно считать, что все возможные реализации составляют случайную выборку .: Оценкой параметра  называется некоторая статистика (функция выборки) , приближенно соответствующая , и при объеме выборки сходящаяся (в вероятностном смысле) к истинному значению параметра. Случайная оценка может быть охарактеризована следующими числовыми значениями:

1. средним значением оценки:

2. смещением оценки:

3. дисперсией оценки:

4. доверительной вероятностью Р₀ и доверительным интервалом , Здесь - плотность вероятности оценки.

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК

1. Параметр - математическое ожидание:

Оценка: (1)

смещение оценки: дисперсия оценки: распределение оценки – нормальное, т.е. доверительный интервал: , где

2. Параметр - дисперсия:

   1. математическое ожидание известно

Оценка: (2)

смещение: дисперсия: распределение: - хи-квадрат (при n>100 – асимптотически нормальное); асимптотически доверительный интервал где .

2. математическое ожидание неизвестно

Оценка (3)

смещение: дисперсия: распределение: (при n>100 – асимптотически нормальное)

3. Параметр m_k - начальный момент k-ого порядка:

Оценка: (4)

смещение: дисперсия: .

4. Параметр - выборочный центральный момент k-ого порядка

Оценка: (5)

смещение: - несмещенная, - асимптотически несмещенная.

5. Связь и при k=2,3,4

(6)

6.Параметр - выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса

(7)