3. Движение тела, соскальзывающего

по наклонной плоскости

Рассмотрим движение бруска вдоль наклонной плоскости. На него действуют: сила тяжести , направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры , направленная перпендикулярно к плоскости, и сила трения , направленная противоположно движению бруска вдоль плоскости (рис. 1.3).

Рис.1.3

Уравнение движения бруска по второму закону Ньютона имеет вид:

или в скалярной форме в проекциях на оси х и у:

.

Отсюда ускорение бруска с учетом формулы (1.2) равно:

(1.4)

а сила трения

(1.5)

Брусок начинает движение без начальной скорости с ускорением и проходит за время расстояние , равное длине наклонной плоскости, следовательно:

, (1.6)

Отсюда

. (1.7)

Применим закон сохранения энергии к движению бруска по наклонной плоскости. Так как на брусок действует сила трения, то рассматриваемую механическую систему следует считать неконсервативной. Поэтому изменение полной механической энергии бруска при его движении по наклонной плоскости равно работе силы трения:

. (1.8)

Полная энергия бруска на вершине наклонной плоскости равна потенциальной энергии, так как начальная скорость бруска равна нулю: .

Полная энергия бруска у основания наклонной плоскости равна кинетической энергии: . Подставим это в закон сохранения энергии (1.8):

или . (1.9)

1.4 Движение тела, катящегося по наклонной плоскости

Пусть тело, способное вращаться (например, цилиндр), катится по наклонной плоскости. Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости. На вращающееся тело действуют: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения (рис. 1.5). Векторы этих сил на рисунке показаны исходящими из их точек приложения. При отсутствии скольжения сила трения есть сила трения покоя или сила трения сцепления.

Рис. 1.5

У равнение движения центра масс тела согласно второму закону Ньютона имеет вид:

.

В скалярной форме относительно оси х, направленной вдоль плоскости вниз, это уравнение имеет вид:

. (1.10)

Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс С, обусловлено только силой трения, так как моменты сил нормальной реакции опоры и тяжести равны нулю, поскольку линии действия этих сил проходят через ось вращения. Поэтому уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

,

где I – момент инерции тела, – угловое ускорение, r – радиус тела, – момент силы трения. Следовательно:

(1.11)

Из выражений (1.10) и (1.11) имеем:

(1.12)

Применим закон сохранения энергии к движению цилиндра по наклонной плоскости. Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс этого тела и вращательного движения точек тела относительно оси, проходящей через центр масс:

, (1.13)

где ω – угловая скорость, которая связана со скоростью центра масс соотношением:

. (1.14)

При отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения А . Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не производит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трения сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела. Следовательно, закон сохранения энергии тела, катящегося по наклонной плоскости, запишется в виде:

, (1.15)

где кинетическая энергия Е_к определяется по формуле (1.13), а потенциальная энергия Е_п=mgh.