3.Постановка и геометрическая интерпретация задачи параметрического программирования.Аналитическое решение задачи

Задачи параметрического программирования являются обобщением задач линейного программирования. Это обобщение состоит в том, что данные задач параметрического программирования считают не постоянными величинами, а функциями, определенным образом зависящими от некоторых параметров. Если предположить, например, что произведенная

предприятием продукция подлежит хранению, то ее стоимость будет складываться из двух частей: 1) постоянной – стоимости продукции на момент изготовления; 2) переменной, зависящей от срока хранения продукции.

Целевую функцию задачи оптимального планирования такого производства можно выразить через коэффициенты, линейно зависящие от одного параметра, в частности от времени t .

Часто на практике встречаются задачи, в которых значения коэффициентов целевой функции известны лишь приближенно. Представив их в виде линейных функций параметра t , можно изучить поведение решений задач при различных значениях этих коэффициентов. Аналогично можно провести исследование для случая, когда изменяются коэффициенты системы ограничений.

Рассмотрим зависимость от параметра t только коэффициентов целевой функции. Математически задачу в этом случае ставят следующим образом: пусть параметр , где – произвольные действительные числа. Необходимо найти для каждого t на отрезке свой вектор , максимизирующий функцию (1)

при условиях: (2)

В выражении (1) числа c_j и d_j известны и постоянны.

Остановимся на геометрической интерпретации задачи.

Пусть система ограничений (2) совместна и определяет выпуклый многогранник . Уравнению

соответствует семейство гиперплоскостей, проходящих через начало координат.

Если параметру придать некоторое значение , то гиперплоскость займет вполне определенное положение. Отодвигая ее от начала координат в направлении возрастания функции, получим решение в точке . Придадим параметру другое значение и снова найдем на графике точку оптимума. Гиперплоскость вследствие изменения параметра t повернется вокруг начала координат на некоторый угол. Отодвинув эту гиперплоскость от начала координата, получим оптимальное решение в той же вершине A . Однако значение функции при изменится, так как оно равно взвешенному отклонению точки A от исходной гиперплоскости. При гиперплоскость будет параллельна ребру AB . Оптимальное решение в этом случае будет достигаться в любой точке отрезка AB . Увеличивая t дальше , получим оптимальное решение только в вершине B Для этой вершины будет свой интервал изменения параметра t .

Из постановки и геометрической интерпретации задачи следует, что при различных значениях параметра t оптимальный план может оказаться не одним и тем же. Поэтому в задаче параметрического программирования требуется не просто найти оптимальное решение, а разбить отрезок на конечное число интервалов, содержащих такие значения t , для которых

оптимальное базисное решение задачи достигается в одной и той же вершине многогранника . Если многогранник неограничен, то гиперплоскость при некоторых значениях параметра t может занять такое положение, что окажется неограниченным. Положение гиперплоскости соответствует неограниченному значению функции, а положение гиперплоскости – максимальному.

Аналітіческое решеніе задачі:

Алгоритм решения задачи состоит из 2 этапов.

Этап I. Параметру t дают фиксированное значение, например . Этим задача приводится к задаче линейного программирования. Решая эту задачу симплекс-методом, находят вершину, в которой достигает максимума.

Этап II. Определяют интервал изменений параметра t , для которого максимум достигается в одной и той же вершине многогранника . Найденный интервал исключают из отрезка . Для оставшейся части отрезка снова решают задачу симплекс-методом, т. е. переходят к этапу I. Решение продолжается до тех пор, пока весь отрезок не будет разбит на частичные интервалы.

алгоритм решения на примере.