Глава 5. Последовательные соединения элементов r, l, и c. Параллельный и последовательный колебательные контуры.

Пусть катушка с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конденсатор емкостью С включены последовательно (рис.5.1).

Рисунок 5.1. Последовательный колебательный контур.

В схеме протекает синусоидальный ток . Определим напряжение на входе схемы. В соответствии со вторым законом Кирхгофа: , (5.1)

где , подставляя эти формулы в (5.1), получаем:

, подставляя сюда исходный синусоидальный ток i получаем:

(5.2)

Из выражения (5.2) видно: напряжение в активном сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90º, напряжение по емкости отстает по фазе от тока на 90º. Перепишем (5.2) в комплексной форме:

(5.3)

здесь - полное комплексное сопротивление цепи, - модуль полного комплексного сопротивления, или полное сопротивление цепи, - начальная фаза полного комплексного сопротивления.

При построении векторных диаграмм цепи рассмотрим три случая.

1. X_L > X_C, цепь носит индуктивный характер. Векторы напряжений на индуктивности и емкости направлены в противоположные стороны, частично компенсируют друг друга. Вектор напряжения на входе схемы опережает вектор тока (рис.5.2).

2. Индуктивное сопротивление меньше емкостного X_L < X_C. Вектор напряжения на входе схемы отстает от вектора тока. Цепь носит емкостный характер (рис.5.3).

3. Индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы. Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонансного напряжения (рис.5.4).

Рис. 5.2                            Рис. 5.3                              Рис. 5.4

Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление (z) цепи имеет минимальное значение.

(5.4)

Для возникновения резонанса необходимо, чтобы X_L=X_C при этом:

, отсюда резонансная частота

Из формулы следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:

1. изменением частоты;

2. изменением индуктивности;

3. изменением емкости.

В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. Последовательное соединение емкости и катушки индуктивности называется последовательным колебательным контуром. В последовательном контуре значения напряжений на емкости и индуктивности может достигать значений значительно больших входного напряжения, поэтому говорят, что в последовательном колебательном контуре имеет место резонанс напряжений.

Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости.

К схеме на рис. 5.5 подключено синусоидальное напряжение . Схема состоит из параллельно включенных индуктивности L, емкости C и активного сопротивления R. Определим ток на входе схемы.

Рисунок 5.5. Параллельный колебательный контур.

В соответствии с первым законом Кирхгофа: , где , , , отсюда:

(5.5)

где - индуктивное сопротивление, - емкостное сопротивление, R - активное сопротивление

Из уравнения (5.5) видно, что ток в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на 90º, ток в ветви с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, ток в ветви с емкостью опережает по фазе напряжение на 90º. Запишем уравнение (5.5) в комплексной форме.

(5.6)

здесь - активная проводимость, - емкостная проводимость, - индуктивная проводимость, - полная комплексная проводимость, - полная проводимость, - начальная фаза полной комплексной проводимости. Построим векторные диаграммы, соответствующие комплексному уравнению (5.6) рис 5.6, 5.7, 5.8.

Рис. 6.13 Рис. 6.14 Рис. 6.15

В параллельном колебательном контуре возникает резонанс токов. Резонанс токов возникает тогда, когда индуктивная и емкостная проводимости одинаковы. При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением. Из условия возникновения резонанса получаем формулу для резонансной частоты:

, следует заметить , что формулы для резонансной частоты для последовательного и параллельного колебательного контуров одинаковы.

В режиме резонанса полная проводимость цепи минимальна, а полное сопротивление максимально. Ток в неразветвленной части схемы в резонансном режиме имеет минимальное значение. В идеализированном случае R=0 и полное сопротивление равно бесконечности, в этом случае ток в неразветвленной части схемы равен нулю. Такая схема называется фильтр - пробкой.

Главное в главе 5

Последовательное и параллельное соединение емкости и индуктивности называется, соответственно, последовательным и параллельным колебательным контуром. Колебательным контурам свойственно явление резонанса - явление резкого увеличения амплитуды колебаний тока или напряжения при совпадении частоты питающего схему тока или напряжения с резонансной частотой контура. Резонансная частота одинакова для последовательного и параллельного колебательных контуров. В последовательном колебательном контуре наблюдается резонанс напряжений, в параллельном колебательном контуре - резонанс токов.