Лабораторная работа № 6 статистическая обработка результатов измерений периода колебаний крутильного маятника

Эксперимент — это триада: подготовка, измерение, обработка. Грамотная обработка и анализ экспериментальных данных не менее важны, чем непосредственные измерения. Результат отдельного измерения всегда представляет собой случайное число. По набору повторных измерений одной и той же физической величины оценивается как точное значение этой величины, так и погрешность измерений. По закону больших чисел погрешность измерений убывает с ростом их числа n обратно пропорционально .

В данной работе проверяется закон возрастания точности измерений с ростом их числа с помощью крутильного маятника, колебания которого моделируют крутильные колебания молекул.

Цель работы

Изучить закономерности статистической обработки результатов прямых измерений и показать, что погрешность среднего значения n результатов измерений убывает с ростом n обратно пропорционально .

Оборудование

1. Крутильный маятник (диск на упругой нити).

2. Секундомер.

Теоретические сведения

В многоатомных молекулах атомы могут располагаться линейно, а могут образовать сложную пространственную фигуру. На рис. 6.1 приведено строение молекул ацетилена C₂H₂ и перекиси водорода H₂O₂. Структура этих молекул напоминает листы раскрытой книги. Один из атомов H находится на одной плоскости 1, второй — на другой плоскости II.Другие атомы расположены на «корешке книги».

Рис. 6.1. Строение молекул C₂H₂ и H₂O₂:

 — двугранный (торсионный) угол между плоскостями I и II,

в каждой из которых лежат по одному из атомов H,

которые совершают крутильные колебания

Двугранный угол между плоскостями I и II, характеризующий поворот одной части молекул относительно другой, называется торсионным.

Колебания торсионного угла представляют собой крутильные колебания. Это внутреннее вращение многоатомных молекул. Помимо молекул, рассмотренных выше, его испытывают молекулы этилена, дихлорэтана, дихлорэтилена и др.

Крутильные колебания молекул моделируются колебаниями крутильного маятника — диска на упругой нити (рис. 6.2). Они возникают при закручивании нити и заключаются в периодическом изменении угла поворота диска. Малые крутильные колебания диска являются гармоническими.

Рис. 6.2. Крутильный маятник. 1 — диск, 2 — упругая нить, 3 — штатив,  — угол поворота диска

Угол поворота диска при гармонических колебаниях зависят от времени по закону синуса или косинуса.

Длительность одного полного колебания называется периодом.

а) t = 0 б) в) t = T

Рис. 6.3. Положение диска в различные моменты времени t на протяжении одного периода крутильных колебаний T,  — угол поворота диска

На рис. 6.3 показаны положения диска в различные моменты времени на протяжении одного периода крутильных колебаний T.

Период гармонических колебаний диска не зависит от начальных условий, т. е. от угла поворота диска в начальный момент времени.

Предположим, что мы n раз измерили период T крутильных колебаний диска с помощью секундомера. Эти измерения относятся к прямым, поскольку числовое значение измеряемой величины непосредственно отсчитываются по шкале прибора. Обозначим через T₁ числовое значение периода, полученное при первом измерении, через T₂ — числовое значение периода, полученное при втором измерении и т. д. В результате измерений получится набор, вообще говоря, различных значений T₁, T₂, ... T_n. Некоторые из них могут быть одинаковыми.

В качестве среднего значения периода берут среднее арифметическое

(1)

Символ означает среднее значение группы из n результатов измерений. Символ означает суммирование по i от i = 1 до i = n .

Что касается погрешности среднего  , то она тоже представляет собой среднюю величину. Но эта средняя величина вычисляется по более сложной формуле, чем среднее арифметическое. Разность T₁ –   называют отклонением величины T₁, полученной при первом измерении T, от среднего значения по n результатам измерений, затем разность  T₂ –   — отклонение величины T₂, полученной при втором измерении T, от среднего значения по n результатам измерений и т. д. вплоть до  Tn –  . Затем вычислим среднее квадратичное отклонение среднего по формуле

. (2)

Здесь s(n) — среднее квадратичное отклонение среднего.

В качестве абсолютной погрешности берется удвоенное среднее квадратичное отклонение

 = 2 s(n). (3)

Здесь  означает абсолютную погрешность среднего группы n результатов измерений.

Окончательный результат записывают в виде T =   или

  < T < +  .

В теории измерений, основанной на математической статистике, показано, что эти соотношения имеют вероятностный смысл. Если используется формула (3), то точное значение измеряемой величины не может отличаться от среднего более чем на  с вероятностью 95 %. Интервал значений от   до +  называется доверительным интервалом.

Максимальное значение отклонения результатов измерения называется разбросом результатов и обозначается Т.

Наряду с абсолютной погрешностью вычисляют относительную погрешность, которую выражают в процентах. Для этого абсолютную погрешность  делят на среднее значение и умножают на 100, т. е. относительная погрешность

(4)

Абсолютная погрешность характеризует разброс измерений. Чем больше разброс измерений около среднего значения, тем больше абсолютная погрешность, относительная погрешность характеризует точность измерений.

Абсолютная и относительная погрешности результата n измерений убывают с ростом n обратно пропорционально .

На рис. 6.4 представлен график зависимости среднего значения периода от числа измерений n. Точки на этом и на следующих рис. 6.5—6.7 соответствуют целым значениям n. Рис. 6.5 и 6.6 представляют соответственно графики зависимости абсолютной  и относительной E(n) погрешностей измерений от n и от .

Рис. 6.4. Зависимость среднего значения периода от числа измерений n, с указанием разброса результатов.

Рис. 6.5. Зависимость абсолютной погрешности  от числа измерений n и от величины

Рис. 6.6. Зависимость относительной погрешности E(n)= от числа измерений n и от обратного корня от числа измерений .

Порядок статистической обработки результатов прямых измерений

Чтобы получить набор значений периода крутильных колебаний диска, многократно определяют длительность t 20-ти полных колебаний по секундомеру. Результаты заносят в табл. 6.1. По этим данным вычисляют период колебаний T по формуле T = t/20, где t — длительность 20-ти полных колебаний (в секундах). И эти результаты заносят в табл. 6.1.

Затем обрабатывают данные измерений периода T по группам из пяти, десяти, ... тридцати результатов измерений. Данные первых пяти опытов (i = 1, 2, ... 5) в табл. 6.1 образуют группу из пяти результатов измерений (n = 5). Эти измерения заносятся в табл. 6.2. По формулам (1) — (4) при n = 5 вычисляют среднее значение , абсолютную  и относительную E(5) погрешности. Результаты вычислений заносят в первую строку табл. 6.3.

Данные первых десяти опытов (i = 1, 2, ... 10) в табл. 6.1 образуют группу из десяти результатов измерений (n = 10). Эти измерения также заносятся в табл. 6.2. По формулам (1) – (4) при n = 10 вычисляют среднее значение , абсолютную  и относительную E(10) погрешности. Результаты заносят во вторую строку табл. 6.3 и так далее для 15, 20, 25 и 30 опытов.

Данные всех измерений (i = 1, 2, ... 30) в табл. 6.1 образуют группу из 30 результатов измерений (n = 30). По формулам (1) — (4) при n = 30 вычисляют среднее значение , абсолютную  и относительную Е(30) погрешности. Результаты заносят в последнюю строку табл. 6.3.

Обработку данных измерений удобно выполнять, сводя результаты промежуточных расчетов в таблицы. После этого вычисляют квадраты периодов Т_i² и сумму квадратов отклонений

(5)

При записи числовых значений возникает вопрос, сколько десятичных знаков надо оставить? Исходные данные следует записать с одним и тем же числом значащих цифр. В табл. 6.2 числовые значения T_i имеет две значащих цифры. Цифра нуль в значении 0,60 с не отбрасывается. Она указывает на точность измерений T_i, составляющую сотые доли секунды.

Окончательные ответы не должны иметь большую точность и большее число значащих цифр, чем исходные данные. Числовое значение среднего 0,62 c и абсолютную погрешность 0,02 c приводятся с одним и тем же числом десятичных знаков после запятой. Числовое значение относительной погрешности приводится с одной — двумя значащими цифрами.

При обработке групп пятнадцати (n = 15), двадцати (n = 20), т. д. результатов измерений составьте самостоятельно таблицы, аналогичные таблице 6.2.

Таблица 6.1

Результаты измерений периода T крутильных колебаний

Номер опыта i	Длительность 20-ти колебаний t, c	Период колеба- ний Т, c	Номер опыта i	Длительность 20-ти колебаний t, c	Период колеба- ний Т, c	Номер опыта i	Длительность 20-ти колебаний t, c	Период колеба- ний Т, c
1 2 3 4 5			11 12 13 14 15			21 22 23 24 25
6 7 8 9 10			16 17 18 19 20			26 27 28 29 30

Результаты обработки группы из 5 измерений используются для обработки групп из 10 измерений. Для этого к уже полученным надо прибавить Т₆, Т₇, Т₈, Т₉, Т₁₀ и , , , , соответственно. Затем вычисляют сумму квадратов отклонений, абсолютную и относительную погрешности. Аналогично поступают с группой из 15,20, 25 и 30 измерений.

Таблица 6.2

Обработка группы результатов пяти 5 и 10 измерений

Номер опыта, i	Период колебаний Тi, c	Квадрат периода колебаний Тi2 c2	Сумма квадратов отклонения от среднего
1 2 3 4 5	0,61 0,60 0,66 0,60 0,63	0,3721 0,36 0,4356 0,36 0,3969
Сумма	3,10	1,9246	26·104
Среднее значение	=0,62		S = 0,01
6	0,62	0,3844
7	0,61	0,3721
8	0,65	0,4225
9	0,6	0,36
10	0,64	0,4096
Сумма	86,22	3,8732	43,6·104
Среднее	=0,622		S = 0,007

Примечание. Приведенные в таблице значения служат только для примера. У вас будут другие!

Таблица 6.3