2.2. Порядок обработки результатов прямых измерений

1. Получить ряд значений x₁, x₂, ..., x_n измеряемой величины.

2. Вычислить среднее арифметическое значение результатов измерений по формуле (2.1).

3. Вычислить квадраты отклонений от среднего и их сумму. Как известно из теории вероятностей:

. (2.5)

4. Вычислить среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического s по формуле (2.3), используя формулу (2.5).

5. Вычислить абсолютную погрешность результата измерений. x = К_ss, где К_s берется из Табл. 1.

6. Окончательный результат записать в виде x =  x.

7. Вычислить относительную погрешность (%) серии измерений  по формуле (2.4).

Примечание 1. Результаты наблюдений и расчетов целесообразно записать в таблицу по форме, такой же, как табл. 2, где обработанные результаты измерений записать в виде ; S; s;

Примечание 2. Результаты измерений, полученные вычислением, также часто рассматривают как «прямые» измерения.

2.3. Пример обработки прямых измерений

Рассмотрим конкретный пример. Пусть проведено пять измерений толщины пластины h_i. Тем самым выполнен п.1 Порядка обработки результатов прямых измерений. Результаты измерений h_i занесем в таблицу (Табл. 2) и в ней вычислим .

Таблица 2

Результаты измерений и их обработки

	№		hi, мм		hi2
	1		20,2		408,04
	2		20,4		416,16
	3		20,3		412,09
	4		20,1		404,01
	5		20,2		408,04
	Сумма—		101,2		2048,340
	Среднее

Обработка данных согласно алгоритму дает следующие значения величин и s: по п.2: ; по п.3: ; по п.4: .

Тогда граница доверительного интервала по п.5 будет h = 2,8·0,051 = 0,14 мм,

и окончательный результат по п. 6 имеет вид h = (20,2  0,1) мм.

Относительная погрешность по п. 7:  = (0,14/20,2) · 100 %  0,7 %.

Механика Лабораторная работа № 1 закон гука

Закон Гука справедлив для упругих и квазиупругих сил, которые часто встречаются в макро- и микромире. Например, при сближении двух молекул между ними возникают Ван-дер-ваальсовы силы взаимодействия, имеющие электрическое происхождение. Оказывается, что вблизи равновесного расстояния r₀, на котором обычно располагаются молекулы, сила их взаимодействия пропорциональна смещению r – r₀, т.е. подчиняется закону Гука F = –k(r – r₀). Таким образом, молекулы ведут себя так, как если бы они были соединены упругой пружиной.

Для более подробного изучения упругих сил полезно проделать данную лабораторную работу.

Цель работы

Экспериментально проверить закон Гука для пружин. Изучить зависимость коэффициента упругости от размера пружины.

Оборудование

1. Штатив.

2. Линейка.

3. Пружины различной длины (от 5 см до 25 см).

4. Набор грузов различной массы (от 100 г до 500 г).

Основные сведения

Под действием нагрузки происходит деформация тела. При этом всегда возникает сила упругости (F_упр), пропорциональная изменению размеров тела (x).

F_упр = kx. (1)

Это и есть закон Гука, который говорит о том, что сила упругости пропорциональна смещению. Сила упругости направлена противоположно смещению, поэтому проекция силы упругости на ось х записывается как F = -kx.

Для пружины изменение ее размера x равно удлинению пружины, т.е. разности между длиной пружины в нагруженном состоянии (l) и ее длиной без нагрузки (l₀).

х = l – l₀ (2)

Коэффициент жесткости k имеет размерность Н/м и легко может быть вычислен как тангенс угла наклона графика F_упр. = kx (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. График зависимости силы упругости F_упр от удлинения пружины х

Коэффициент упругости или жесткости k не зависит от удлинения пружины x, а зависит только от свойств материала, из которого изготовлена пружина, и от размеров пружины. Чем короче и толще пружина, тем труднее ее деформировать. Для цилиндрических тел эта зависимость имеет вид.

, (3)

где S — площадь, l₀ — длина тела в недеформированном состоянии, E — модуль Юнга, он характеризует свойства материала тела и приводится в справочниках.

Подставляя (3) в (1), можно записать закон Гука в виде

;

или

, (4)

т.е. относительное удлинение x/l₀ прямо пропорционально приложенному к телу механическому напряжению F_упр/S — так иногда формулируют закон Гука в теоретической механике.

Описание установки

Схема установки приведена на рис. 1.2 и 1.3. Она состоит из штатива, на котором закреплена пружина с чашечкой для подвешивания грузов. В используемой установке сила упругости F_упр. уравновешена силой тяжести F_упр. = mg, действующей на груз, если пружина находится в покое при подвешивании груза массой m.

Рис. 1.2. Пружина в ненагруженном Рис. 1.3. Пружина с грузом

состоянии

Порядок выполнения работы

1. Закрепить на штативе пружину с наименьшей длиной. Прикрепить к ней чашечку для установки грузов.

2. Линейкой измерить начальную длину пружины l₀.

3. На крючок подвесить груз с массой 100 г. Сам крючок весит 50 г. Общая масса груза составит 150 г.

4. Линейкой измерить длину растянутой пружины l.

5. На крючок подвесить поочередно грузы массой 200 г, 300 г, 400 г, 500 г, измеряя длину растянутой пружины в каждом случае.

Опыты произвести для всех (пяти) пружин.

Обработка результатов измерений

1. Зная начальную длину пружины l₀ и длину деформированной пружины l, определить удлинение x = l  l₀.

2. Вычислить силу упругости, зная массу груза m.

3. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 1.1.

Таблица 1.1

№ опыта	m , кг	Fупр. = mg, H	l0, м	l, м	x, м

4. На одной масштабной сетке построить графики (см. п.1.3 из Общих рекомендаций): зависимости силы упругости от смещения F_упр.= f(x) для каждой пружины.

5. Вычислить коэффициенты жесткости каждой пружины k по построенным графикам.

6. Данные измерений и вычислений занести в табл. 1.2.

Таблица 1.2

№ опыта	l0, м	k, H/м	, м–1
1
…

7. Построить на одной масштабной сетке график зависимости силы упругости от относительного удлинения, для всех пружин

.

8. Построить графики зависимости жесткости от начальной длины k = f(l₀), и жесткости от обратной длины пружины .

Контрольные вопросы

1. Совпадают ли графики зависимости силы упругости пружин от их удлинения с теоретическими?

2. Изобразите как должны выглядеть графики зависимости силы упругости от относительного удлинения пружин. Получилось ли это на опыте?

3. Как связан коэффициент жесткости пружины с ее начальной длиной? Изобразите этот график и сравните его с графиком, полученным экспериментально.

4. От чего зависит коэффициент жесткости пружины и какова его единица измерения в СИ?

5. Как изменится коэффициент жесткости к, если пружину сложить вдвое (см. рис. 1.4.), разрезать пополам?

Рис. 1.4.