Лабораторная работа № 23 распределение больцмана

Цель работы

Экспериментальная проверка распределения Больцмана для электронов лампы диод и нахождение температуры электронного газа.

Оборудование

1. Электронная лампа 6Х2П (двойной диод с подогреваемым катодом);

2. Источник постоянного напряжения на 0,5 В;

3. Микроамперметр (A) на 200 A для измерения анодного тока;

4. Вольтметр на 0,5 В для измерения напряжения между анодом и катодом;

5. Источник постоянного напряжения на 10 В;

6. Миллиамперметр (mA) на 500 mA;

7. Вольтметр на 10 В;

8. Реостат 15 Ом 5 А.

Основные сведения

Распределение Больцмана — распределение молекул (или частиц) в потенциальном поле. Если потенциальная энергия молекул газа W(x, y, z), то их концентрация

. (1)

В точке (x₀, y₀, z₀), где концентрация частиц равна n₀ , потенциальная энергия принята равной нулю W = 0.

В формуле (1) T — абсолютная температура газа, k — 1,38 · 10^-23 Дж/К — постоянная Больцмана. Напомним, что е –основание натуральных логарифмов

График зависимости n = f(W) имеет вид

Рис. 23.1. Распределение Больцмана

На графике рис. 23.1 интересна следующая точка. Найдем значение потенциальной энергии, для которой число частиц в единице объема, т. е. концентрация молекул n, уменьшается в e  2,7 раз по сравнению с n₀

. (2)

Логарифмируя последнее выражение (с учетом того, что ln 1/e=-1), получим W(x, y, z) = kT.

Итак, согласно принципу Больцмана, концентрация молекул, имеющих потенциальную энергию W(x, y, z) в потенциальном поле экспоненциально убывает с ростом энергии W.

Формула (1) справедлива и для электронного газа, находящегося в потенциальном электрическом поле.

Нагретый катод лампы диод испускает электроны. Образуется электронное облако. Между анодом и катодом существует электростатическое поле. В зависимости от направления вектора напряженности этого поля или пространственного распределения потенциала электростатического поля, это облако электронов будет распределено в пространстве анод-катод по-разному (рис. 23.2).

Рис. 23.2. Схематическое изображение поля в диоде.

а — ускоряющее поле для электронов, б — задерживающее поле

Если на анод подать положительный потенциал, то электронное облако будет устремляться к аноду, и анодный ток будет расти с ростом напряжения U (рис. 23.2а). Надо иметь в виду, что катод все время в процессе подогрева испускает электроны.

Если же на анод подать отрицательный потенциал U, то ток в цепи анод-катод будет небольшим и может вообще прекратиться (рис. 23.2б).

Последний случай рассматривается в нашей работе.

Потенциальная энергия электрона, достигшего анода, будет равна W = eU, где е = 1,6^.10^-19Кл – заряд электрона, не путайте его с основанием натуральных логарифмов.

Концентрация электронов вблизи анода

, (3)

а ток в анодной цепи пропорционален концентрации электронов, протекающих в единицу времени, то

. (4)

Если изменять задерживающее напряжение между анодом и катодом от 0 до 0,5 В, согласно приведенной схеме (рис. 23.3), можно снять зависимость I = f(U), т. е. практически — зависимость числа электронов от их потенциальной энергии.

Рис. 23.3. Принципиальная схема лабораторной установки

Описывается ли реальная зависимость I = f(U) уравнением (4)? Чтобы это проверить, нужно построить график lnI = f(U). Из формулы (4)

(5)

т. е. lnI должен линейно зависеть от U.

Если эта зависимость выполняется экспериментально, значит справедлива формула (4), т. е. в электростатическом (потенциальном) поле электрической лампы диод электроны распределены по энергиям согласно распределению Больцмана.

Рис. 23.4. График зависимости lnI = f(U)

Построив график зависимости ln1 = f(U), можно найти и температуру электронного газа, ведь

, (6)

(7)

- легко найти по экспериментальным данным.

Порядок выполнения работы

Принципиальная схема лабораторной установки приведена на рисунке (рис. 23.3). Для студентов доступна только регулировка анодно-катодной цепи.

Рис. 23.5. Лабораторная установка

1. Устанавливаем тумблер <ВКЛ> на передней панели установки вверх (см. рис.23.5). При этом на передней панели должна зажечься сигнальная лампочка. Перед началом измерений прогрейте лампу в течение 5 минут.

2. Регулятором Р по вольтметру поставьте напряжение 0. При этом микроамперметр будет показывать максимальный ток I₀.

3. Приступаем к основной экспериментальной части работы. Необходимо снять Вольт-Амперную характеристику диода, то есть зависимость I = f(U). Изменяйте регулятором Р напряжение по вольтметру от 0 до 0,5 вольт через каждые 0,02 вольта и записывайте в табл. 23.1 соответствующие показания по микроамперметру A. Вы получите столбик из 26 значений (графа I₁ в табл. 23.1).

4. Пункт 3 повторите еще 2 раза, заполнив столбик I₂, а затем I₃ для тех же значений напряжения. В табл. 23.1 I = (I₁+I₂+I₃)/3 .

Таблица 23.1

Результаты экспериментов

№	U(B)	I1	I2	I3	I(A)	ln I
1 2 25	0 0,5

5. Пункт 4 повторить еще 2 раза, заполнив столбик I₂, а затем I₃ для тех же значений напряжения. В табл. 23.1

Обработка результатов измерений

1. По данным таблицы постройте (см. п.1.3. Общих указаний) график I = f(U), соединив плавной кривой экспериментальные точки.

2. Постройте график зависимости lnI = f(U). Он должен представлять собой прямую линию. Найдите tg (см. рис. 23.4).

3. Вычислите температуру электронного газа по формуле

, (8)

где е— заряд электрона, k — постоянная Больцмана.

Контрольные вопросы

1. Какой из построенных графиков иллюстрирует распределение Больцмана?

2. Как можно найти температуру электронного газа, пользуясь только графиком I = f(U), по одной точке?

3. Нарисуйте график распределения Больцмана для разных температур газа (T₁ < T₂).

4. При какой потенциальной энергии концентрация частиц уменьшится в два раза по сравнению с начальной концентрацией n₀?

5. Как изменится концентрация частиц, если потенциальная энергия W=3kT?