Результаты измерений и вычислений момента инерции тела (диска, шара, кольца)

№ п/п	Для пустого маятника			Для маятника с телом			I, кгм2	Ii-Icp, кгм2	(Ii-Icp)2, (кгм2)2
	t, с	n, с	Tмаятника, c	t, с	n, с	T, c
1
2
3
4
5
Среднее	-	-	-	-	-	-		-

6. Измерьте штангенциркулем или линейкой диаметр диска и найдите его радиус R_м.

7. Повторите пункты 1-5 для всех исследуемых тел (будет отдельная табл. 13.1. для каждого тела).

Обработка результатов измерений

1. Вычислите период колебаний маятника (диска) T_{маятника} и T маятника с кольцом, разделив время 20-ти колебаний на число колебаний n.

2. Подставляя все величины в формулу (11), определите момент инерции I исследуемого тела. Результат запишите в табл. 13.1.

3. Вычислите среднее значение момента инерции I_cp.

4. Вычислите абсолютную погрешность измерения момента инерции I.

Действуйте в соответствии с «Порядком обработки результатов прямых измерений» (п.2.2 Общих рекомендаций). Для пяти измерений коэффициент Стьюдента К_s =2,8. Результат запишите в виде I=I_cpI.

5. Вычислите теоретическое расчетное значение момента инерции исследуемого тела.

6. Повторите пункты 1-5 для всех исследованных тел.

7. Сравните экспериментальное и расчетное значения момента инерции кольца и сделайте вывод.

Контрольные вопросы

1. Является ли момент инерции тела постоянной величиной?

2. Каков физический смысл момента инерции?

3. Как изменится период крутильных колебаний при укорачивании подвеса?

4. Как изменится период колебаний крутильного маятника, если радиус диска увеличится в два раза?

5. Почему момент инерции кольца больше, чем момент инерции диска имеющего равные массу и радиус?

Лабораторная работа № 13а определение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Выполнение работы на установке № 2.

Цель работы

Определить момент инерции металлических цилиндров.

Оборудование

1. Лабораторная установка для изучения крутильных колебаний диска и вкрученных в него цилиндров.

2. Секундомер.

3. Линейка.

Основные сведения

Во вращательном движении инерционные свойства тел характеризуются не массой, как в поступательном движении, а особой физической величиной, называемой моментом инерции I. Произведение массы материальной на квадрат её расстояния R² от оси вращения называется моментом инерции материальной точки I = mR².

Если любое тело сложной формы разбить на n элементов (материальных точек), то момент инерции всего тела можно вычислить как сумму моментов инерции его элементов

(1)

где i – номер элемента тела.

Момент инерции тела зависит от размеров и формы тела, а также от распределения его массы относительно оси вращения. Одно и то же тело, вращаясь относительно различных осей, будет обладать различными моментами инерции.

В СИ момент инерции измеряется в кг·м². В общем случае вычисление момента инерции тел представляет собой сложную задачу, решаемую с помощью интегрирования. Сравнительно легко можно найти момент инерции тел правильной геометрической формы, состоящих из однородного вещества. Например, момент инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр,

, (2)

где m –масса диска, R – его радиус.

Рис. 13а2. Диск, совершающий крутильные колебания

Часто моменты инерции различных тел определяют экспериментально. В нашей работе это делают с помощью метода крутильных колебаний. Если тело подвесить на проволоке и, закрутив проволоку, предоставить систему самой себе, эта система будет совершать крутильные колебания (см. рис. 13а.2).

Как известно, при колебательном движении тела массой m на пружине жесткостью k период колебаний

. (3)

(Напомним, что период колебаний – время одного полного колебания, т.е. движения тела «туда и обратно»). При крутильных колебаниях роль массы играет момент инерции I, а роль жесткости – коэффициент кручения f, зависящий от упругих свойств подвеса. Тогда период крутильных колебаний

. (4)

Момент инерции цилиндров можно определить, сравнивая периоды крутильных колебаний эталонного диска и диска с вкрученными цилиндрами. Получим расчетную формулу.

Пусть:

I_x – момент инерции цилиндров,

I₀ – момент инерции диска,

I_x + I₀ – момент инерции диска с цилиндрами в их совместных колебаниях.

По формуле (4) период колебаний диска

, (5)

а период колебаний диска вместе с цилиндром

. (6)

Возведя (5) и (6) в квадрат и разделив второе на первое, получим

. (7)

Выразим

. (8)

Подставляя в формулу (8) момент инерции диска (2), получим расчетную формулу

, (9)

где m – масса диска (указана на установке5), R – радиус диска (указан на установке), Т₀ – период колебаний диска (определяется по секундомеру), Т – период колебаний диска с цилиндрами (определяется по секундомеру).

Описание установки

Схема установки приведена на рис. 13а.3.

Рис. 13а.3. Схема установки

Она состоит из диска, подвешенного на металлической нити, в который можно вкручивать два цилиндра в положения 1, 2, 3, 4, 5 на расстояния х от оси вращения. Расстояния х измеряются линейкой.

Порядок выполнения работы

1. Определить период колебания диска Т₀, измерив время t₀ 20-ти полных колебаний (учитывая, что время полного колебания – время движения «туда и обратно».

, (11)

где n – число полных колебаний.

При этом диск закручивайте на угол ~ 10º градусов перед началом колебаний.

Опыт повторите три раза и данные занесите в табл. 13а.1.

Таблица 13.а.1

№ п/п	Для диска
	t0, c	n	T0
1 2 3
Среднее значение

2. Вверните два цилиндра в отверстия 1 в диске (см. рис. 13а.3б) и найдите период колебаний диска вместе с цилиндрами. Опыт повторите три раза. Затем вворачивайте цилиндры в отверстия 2, 3, 4, 5 и определите период колебаний не менее трех раз. Данные занесите в табл. 13а.2.

Таблица 13а.2

№ п/п	Для диска с цилиндрами
	n	t1, c	T1, c	t2, c	T2, c	t3, c	T3, c	t4, c	T4, c	t5, c	T5, c
1 2 3
Среднее значение

3. Измерьте масштабной линейкой расстояние от центра диска до отверстий 1,2,3,4,5. Данные занесите в табл.13а.3.

Таблица 13а.3

№ п/п	x, см	x2 ,см2	Ix, кг м2
1 2 3 4 5

Обработка результатов измерений

1. Рассчитайте момент инерции цилиндров по формуле (10) для различного их расположения относительно оси вращения и занесите в табл.13а.3

2. По данным табл.13а.3 постройте график (см.п.1.3 Общих рекомендаций) зависимости момента инерции цилиндров от их расстояния до центра диска I_x=f(x) и момента инерции от квадрата этого расстояния I_x=f(x²).

Контрольные вопросы

1.Какой вид имеет график зависимости I_x=f(x)

2. Для чего строится график I_x=f(x²)? Что он подтверждает?

3. Как изменится период крутильных колебаний при удлинении подвеса?