Средние значения и погрешности измерения периода крутильных колебаний

Число опытов n	Среднее значение , с	Абсолютная погрешность  , с	Относительная погрешность  ,%	Величина
5 10 15 20 25 30

Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с лабораторной установкой.

2. Возбудите малые крутильные колебания диска на нити. Для этого закрутите диск на малый угол (не более 7  8°) и предоставьте самому себе. Измерьте длительность t 20-ти полных колебаний нити по секундомеру. Результат запишите в табл. 6.1.

Внимание!

При измерениях следите за тем, чтобы колебания диска являлись крутильными. Диск не должен раскачиваться. В противном случае остановите диск и начните опыт сначала.

3. Проделайте измерение длительности t 20-ти полных колебаний 30 раз, см. п. 2.

4. Обработайте результаты измерений t в соответствие с «Порядком статистической обработки результатов прямых измерений», см. выше.

5. По данным табл. 6.2 постройте (см.п.1.3 из Общих рекомендаций) следующие графики зависимости.

а) среднего значения T(n) от числа измерений n, с указанием доверительного интервала.

б)  абсолютной погрешности T(n) от числа измерений n;

в) относительной погрешности  от числа измерений n;

г) абсолютной погрешности T(n) от ;

д) относительной погрешности  от .

6. По результатам работы сделайте вывод.

Правила построения графиков

Независимые величины n и откладываются по горизонтали. Зависимые величины ,  и  откладываются по вертикали. Размерные величины снабжаются единицей измерения.

При построении графиков выбирайте следующий масштаб. 2 см горизонтальной оси соответствуют 5-ти единицам n или 0,1 единицам . Масштаб по вертикали выбирайте таким, чтобы высота графика была соизмерима с его длиной, а экспериментальные точки не слипались друг с другом. В соответствии с выбранным масштабом оси размечаются равномерно. Экспериментальные значения на оси не выносятся.

Экспериментальную кривую проводите так, чтобы экспериментальные точки были равномерно разбросаны относительно нее. Исключение составляют графики зависимости абсолютной и относительной погрешности от . Эти экспериментальные прямые надо проводить через точки, отвечающие большим значениям n.

Контрольные вопросы

1. Что характеризует абсолютная и относительная погрешность?

2. Какой смысл имеют соотношения T =    и   < T <  +  ?

3. Каковы графики зависимости абсолютной и относительной погрешности от числа измерений n?

4. Каковы графики зависимости абсолютной и относительной погрешности от (n — число измерений)?

5. Сформулируйте закон больших чисел.

6. Какие колебания молекул называются крутильными?

7. Как моделируются крутильные колебания молекул?

8. Приведите примеры молекул, совершающих крутильные колебания.

Лабораторная работа № 12 определение момента инерции маятника обербека

Цель работы

Ознакомление с понятием момента инерции вращающегося тела, определение момента инерции маятника Обербека.

Оборудование

1. Маятник Обербека.

2. Грузы разной массы.

3. Секундомер.

4. Линейка.

Основные сведения

Любое твердое тело, имеющее ось вращения, будет совершать вращательное движение, если к нему приложить внешнюю силу F_вн., линия действия которой не проходит через ось вращения (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Вращающееся тело

Перпендикуляр, опущенный из оси вращения на линию действия силы, называется плечом силы R.

Произведение силы F_вн. на плечо R называется моментом силы M = F_вн ·R.

Итак, чтобы тело вращалось, необходимо приложить момент силы.

Если на тело действует постоянный момент силы, то тело будет вращаться равноускоренно с постоянным угловым ускорением .

, (1)

где I — момент инерции вращающегося тела.

Формула (1) выражает второй закон Ньютона для вращательного движения. Момент инерции выполняет роль массы тела, а момент силы — роль силы.

Моментом инерции материальной точки принято называть произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси вращения.

I = mr².

Если тело разбить на n элементов, то момент инерции всего тела будет вычисляться следующим образом

,

где i — номер элемента тела.

Например, молекулу двухатомного газа можно представить как две материальные точки, жестко связанные друг с другом (рис. 12.2).

Рис. 12.2. Вращение двухатомной молекулы

Для двухатомной молекулы момент инерции имеет вид

I = m₁r₁² + m₂ r₂².

Очевидно, что момент инерции молекулы в основном определяется самым «удаленным» от оси вращения атомом.

Момент инерции зависит от формы и размеров тела, от распределения масс тела относительно оси вращения. Одно и то же тело, вращаясь относительно различных осей, будет обладать различными моментами инерции. Методом интегрирования находятся моменты инерции тел любой геометрической формы.

Часто для экспериментального определения момента инерции тела пользуются, как в данной работе, динамическим методом.

В лабораторной работе определяется момент инерции маятника Обербека (рис. 12.3).

Маятник состоит из четырех стальных стержней, расположенных под прямым углом и вставленных во втулку. На стержнях укреплены грузики одинаковой массы m₀. Эти грузики можно перемещать вдоль стальных стержней.

Изменяя их расстояние от оси вращения, можно изменить момент инерции маятника. На ось вращения насажен шкив, радиусом R. На шкив намотан шнур, свободный конец которого имеет специальную подставку для закрепления на ней различных грузов. Груз массой m, опускаясь на шнуре, приводит во вращение шкив и стержни с грузиками массой m₀.

Рис. 12.3. Маятник Обербека.

Найдем величину момента силы M, вращающего маятник, и его угловое ускорение .

Момент силы M определим по формуле M = F_нR, где F_н — сила, вызывающая вращение маятника (сила натяжения шнура), R — радиус шкива (плечо силы).

Если сила тяжести груза P = mg больше силы натяжения F_н, то груз будет опускаться с ускорением P  F_н = ma. Откуда F_н = mg  ma = m(g  a).

Ускорение силы тяжести g (ускорение свободного падения) значительно больше линейного ускорения a, с которым груз движется вниз. Поэтому можно считать приближенно

F_н = mg, M = mgR. (2)

Величину углового ускорения  можно найти из следующих соображений. Шнур, разматываясь со шкива, не скользит по нему и, следовательно, каждая точка шкива в месте соприкосновения со шнуром будет двигаться с тем же линейным ускорением, что и сам спускающийся груз. Между угловым ускорением точки на окружности и ее линейным ускорением существует зависимость =a/R.

Величину линейного ускорения спускающегося груза можно определить по формуле равноускоренного поступательного движения. Если t — время, в течение которого груз проходит путь h с ускорением a, то

. (3)

Таким образом, угловое ускорение

. (4)

Подставляя в формулу (1) значения момента силы M из формулы (2) и угловое ускорение из формулы (4), получим расчетную формулу для момента инерции маятника Обербека.

. (5)

Все величины, стоящие в правой части формулы (5): m — масса груза, R — радиус шкива, t — время падения груза и h — высота падения груза, измеряются на опыте.

Формула (5) получена в предположении, что a << g. В том, что линейное ускорение груза a действительно мало по сравнению с ускорением свободного падения g, нетрудно убедиться на основании опытных данных.

Подставляя полученные экспериментальные значения h и t в формулу (3), можно убедиться, что a << g.

Порядок выполнения работы

1. Определить зависимость момента инерции маятника Обербека от расстояния r грузиков m₀ на стержнях крестовины от оси вращения.

1.1. расположить грузики m₀ на стержнях крестовины на расстоянии r₁ от оси вращения;

1.2. намотать на шкив шнур, свободный конец которого имеет специальную подставку для грузов;

1.3. придерживая крестовину, положить на подставку груз m;

1.4. отметить деление на линейке, соответствующее основанию подставки с грузом m;

1.5. отпустить груз для свободного падения и одновременно включить секундомер (но не толкайте крестовину);

1.6. выключить секундомер, как только подставка с грузом достигнет нижней отметки на линейке;

1.7. определить по секундомеру время падения груза t₁;

1.8. результат измерения t₁ записать в табл. 12.1;

1.9. повторить опыт еще 2 раза, т. е. измерить время t₂ и t₃ и из 3-х значений взять среднее t_ср.;

1.10. расположить грузики m₀ на стержнях крестовины на расстоянии r₂ от оси вращения;

1.11. определить по той же методике среднее время падения t_ср. груза m;

1.12. измерить по линейке высоту падения h груза m.

Проделать те же измерения t_ср. для расстояний r₃,r₄,r₅.

Результаты измерений занести в табл. 12.1

Таблица 12.1

r, м	m, кг	h, м	t1, c	t2, c	t3, c	tср, c	I, кг·м2

2. Исследовать зависимость момента инерции маятника Обербека от массы грузов m, помещаемых на подставку.

2.1. установить грузики m₀ на стержнях крестовины на расстоянии r₅;

2.2. намотать на шкив шнур;

2.3. придерживая крестовину, положить на подставку груз m₁;

2.4. отметить деление шкалы, соответствующее основанию подставки;

2.5. опустить груз для свободного падения, одновременно включить секундомер;

2.6. выключить секундомер, как только подставка с грузом m₁ достигнет нижней отметки на линейке;

2.7. определить по секундомеру время падения груза t₁;

2.8. результаты измерения записать в табл. 12.2.

2.9. повторить опыт еще два раза и из 3-х значений вычислить значение t_ср.;

Проделать опыты с грузами m₂, m₃, m₄, m₅.

Результаты измерений занести в табл. 12.2.

Таблица 12.2

№ п/п	m, кг	r, м	h, м	t1, c	t2, c	t3, c	tср, с	I, кг · м2	Ii-Icp кг · м2	(Ii-Icp)2 (кг·м2)2
1
2
3
4
5
Среднее

Обработка результатов измерения

1. По результатам табл. 12.1 рассчитать по формуле I=mgR²t²_cр/2h моменты инерции маятника Обербека для пяти положений грузиков на стержнях крестовины. Результаты расчетов занести в табл. 12.1.

2. Построить графики (см.п.1.3 из Общих рекомендаций) зависимости I = f(r) и I = f (r²) при постоянной массе m.

3. По результатам табл. 12.2 рассчитать моменты инерции маятника Обербека при постоянном r₁ и различных массах груза m₁, m₂, m₃, m₄, m₅. Результаты расчета занести в таблицу 12.2.

4. Построить график зависимости I = f(m) при r₁ = const.

5. Сделайте выводы.

6. По данным расчета момента инерции табл. 12.2 произвести обработку результатов измерения, вычислить среднее значение момента инерции маятника I_cp и абсолютную погрешность измерения I. Действуйте в соответствии с «Порядком обработки результатов прямых измерений (п.2.2 в Общих рекомендациях). Для пяти измерений коэффициент Стьюдента K_S =2,8. Окончательный результат записать в виде кг·м².

7. Определить относительную погрешность измерения по формуле  = E=T/I^. 100%.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции. Каков физический смысл момента инерции?

2. Почему с увеличением расстояния r грузиков m₀ от оси вращения момент инерции возрастает. Какая это зависимость?

3. Пояснить вид графика зависимости I = f(m) при r = const.

4. От чего зависит момент инерции твердого тела?

5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.