2. Потенциальная энергия Работа и потенциальная энергия

Работа dА, совершаемая силой на малом участке пути d , равна произведению величины силы на длину перемещения и косинус угла между направлениями силы и перемещения:

. (2.1)

Работа измеряется в Джоулях (1 Дж=1 Н·м).

Полная работа А на всем пути из точки 1 в точку 2 находится интегрированием:

. (2.2)

Формула 2.2 справедлива всегда и предполагает, что величина силы F(x), а также угол α между силой и смещением могут зависеть от формы пути. Если силы и угол постоянны, то А = = Fx cos α (при постоянной силе работа пропорциональна перемещению) .

Консервативной (потенциальной) называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависит от формы пути. Силы тяготения, кулоновские, электростатические, упругие силы — консервативные. Работа этих сил по замкнутой траектории равна нулю.

Работа против силы трения зависит от формы пути, проходимого телом, и никогда не обращается в ноль. Поэтому силы трения не являются консервативными.

При равномерном вращении тела по окружности центростремительная сила всегда перпендикулярна перемещению, поскольку , то и работа равна нулю. Таким образом, центростремительная сила работы не совершает.

Если под действием консервативной силы изменяется положение тела в пространстве, то изменяется и потенциальная энергия теела Изменение потенциальной энергии равно работе консервативной силы. В качестве точки отсчета потенциальной энергии обычно принимают «нулевую конфигурацию» тела, когда сила обращается в ноль. Для пружины «нулевой конфигурацией» служит длина недеформированной пружины, то есть состояние, при котором смещение х = 0. Для электростатического поля или поля тяготения «нулевой конфигурацией» является состояние, когда тела бесконечно далеко удалены друг от друга.

Потенциальная энергия тела, отсчитанная от «нулевой конфигурации», обычно обозначается W_п(r) и измеряется, как и работа, и джоулях (Дж).

Всегда ли зaтраченная работа запасается в виде потенциальной энергии? Если Вы внимательно читали предыдущий параграф, то сможете дать ответ на этот вопрос: работа, совершенная консервативной силой, увеличивает потенциальную энергию тела. Если же работу совершает неконсервативная сила, то запас потенциальной энергии не изменится. Например, сила трения — неконсервативная сила, поэтому, таская тяжелый ящик по земле, Вы совершаете работу, но она не запасается в теле, а превращается в тепло. Если же работа тратится на преодоление консервативной силы, например, силы тяжести, то она запасается в виде потенциальной энергии и может быть снова превращена в работу.

Рис. 2.1. Зависимости а) упругой потенциальной энергии W_упр; б) проекции силы упругости F_упр от смещения пружины

Потенциальная энергия пружины

Рассчитаем потенциальную энергию упругой пружины W_ynp(x). «Начальной конфигурацией» пружины, то есть положением, в котором упругая сила обращается в ноль, является х=0. Следовательно, потенциальная энергия равна работе по растяжению пружины от х=0 до величины х. При растяжении упругая сила направлена противоположно смещению, поэтому cos (F^dx) = cosπ =- 1. Итак,

. . . (2.3)

Зависимость W_ynp(x) для упругой пружины изображена на рис 2.1. Левая часть графика соответствует сжатию, правая — растяжению пружины.

in

Система, потенциальная энергия которой зависит от квадрата смещения (W_п(x)~x²), называется гармоническим осциллятором.

В ряде случаев потенциальная энергия тела может быть пропорциональна квадрату смещения, хотя силы, действующие на тело, не являются упругими и имеют другое происхождение. В этом случае тело ведет себя так, как если оно было бы прикреплено к пружине.

В о п р о с: как изменятся графики на рис. 2.1, если пружина | станет более жесткой?