Решение типовых заданий.
Задание 1. Исследовать функцию на экстремум и монотонность
.
Решение:
Шаг
1.
.
Шаг
2.
.
Шаг 3. Найти стационарные точки
Обе точки являются стационарными.
не
существует при
,
т.е. при
.
Но
,
поэтому критических точек
не имеет.
Шаг 4.
Шаг 5. Определим знак в каждом из четырех полученных интервалов
.
убывает
на интервале
,
возрастает на интервалах
и
.
Точка
- точка минимума
.
Шаг
6.
.
Задания для самостоятельного решения.
Задание 2. Исследовать функцию на экстремум и монотонность.
1)
|
5)
|
2)
|
6)
|
3)
|
7)
|
4)
|
8)
|
Ответы:
2.1)возрастает
,
убывает
;
2.2)
возрастает
,
убывает
;
2.3)
возрастает
,
убывает
;
2.4)
возрастает
,
убывает
;
2.5)
возрастает
,
убывает
;
2.6)
возрастает
,
убывает
;
2.7)
возрастает
,
убывает
;
2.8)
возрастает
,
убывает
.
Домашнее задание.
Задание 3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум
1)
.
2)
.
3)
.
Ответы:
3.1)возрастает
,
убывает
;
3.2)
возрастает
,
убывает
;
3.3)
возрастает
,
убывает
.
Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
Краткие теоретические сведения.
Алгоритм
нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции
на
.
Шаг
1.
Найти область определения функции
.
Шаг
2.
Убедиться, что
.
Шаг 3. Найти производную .
Шаг 4. Найти стационарные и критические точки , которые попадают в
Шаг
5.
Вычислить значения функции
в полученных стационарных и критических
точках и на концах отрезка
.
Шаг
6.
Среди полученных значений
выбрать наибольшее и наименьшее, это и
есть соответственно наибольшее и
наименьшее значения
на
-
и
.
Решение типовых заданий.
Задание
1.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
на
.
Решение:
Шаг
1.
.
Шаг
2.
.
Шаг
3.
.
Шаг 4. Найдем стационарные точки :
.
.
существует
всюду в
,
поэтому критических точек
нет.
Шаг
5.
.
.
Шаг
6.
- наибольшее значение
на
;
наименьшее
значение
на
.
Задание для самостоятельного решения.
Задание 2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Ответы:
2.1)
,
;
2.2)
,
;
2.3)
,
;
2.4)
,
;
2.5)
,
;
2.6) нету; 2.7)
,
;
2.8)
,
.
Домашнее задание.
Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на указанном отрезке:
1)
2)
3)
Ответы:
2.1)
,
;
2.2)
,
;
2.3)
,
.
Производные высших порядков. Формула Тейлора.
Краткие теоретические сведения.
Производную от функции называют производной первого порядка. Но сама является функцией, которая также может иметь производную:
-
производная
второго порядка;
-
производная третьего порядка;
-
производная четвертого порядка;
…
-
производная п-порядка.
Теорема.
Если
функция
имеет производные до
- го порядка включительно в окрестности
точки
,
то для любого значения
из этой окрестности справедлива формула
Тейлора:
(1)
Где
,
(
или
- остаточный член…
При
формула Тейлора принимает вид
.
Отбросив остаточный член, получим приближенное равенство
(2)
Чем ближе точки и на числовой оси, тем точнее равенство (2)