Основные правила нахождения производных

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Таблица производных

1)	2)
3) ,	4) ,
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)

Решение типовых заданий.

Задание 1. Найти :

а) ;

б) ;

в) , .

Решение:

а) Шаг 1. Применим к производной правила дифференцирования 2) и 1):

.

Шаг 2. С помощью таблицы производных находим:

.

Шаг 3. Найдем значение производной в точке : .

б) Шаг 1. Применим к производной 4)-е правило дифференцирования:

.

Шаг 2. Применим 2)-е правило дифференцирования и таблицу производных находим:

Шаг 3. Найдем значение в точке :

в) Шаг 1. Применим к 5)-е правило дифференцирования сложной функции:

.

Шаг 2. По таблице производных находим:

Шаг 3. Найдем значение в точке : .

Задание 2. Найти уравнение касательной к графику функции в точке . Сделать чертеж.

Решение:

Шаг 1. Найти значение производной функции в точке :

.

.

Шаг 2. По формуле (3) найти угловой коэффициент касательной к графику в точке .

И общий вид уравнения касательной .

Шаг 3. Найти ординату точки касания :

.

Т.к. касательная проходит через точку , то можно подставить т. в общее уравнение касательной и найти значение b:

отсюда b=-4.

Шаг 4. составить искомое уравнение касательной:

или .

Шаг 5. Сделать чертеж

Задания для самостоятельного решения.

Задание 3. Найти :

1)	2)
3)	4)
5)	6) ,
7)	8)
9)	10)
11)	12)

Задание 4. Найти уравнение касательной к графику функции в точке . Сделать чертеж.

1)

2) а) , б)

3)

Ответы. 3.1) -9, 3.2) , 3.3) 1, 3.4) , 3.5) , 3.6) , 3.7) ,

3.8) , 3.9) , 3.10) -3, 3.11) -12, 3.12) ;

4.1) y= -2, 4.2) а) y= -2x, б) y= -1, 4.3) y= -8x.

Домашнее задание.

Задание 5. Найти

1)	2) ,
3)	4)

Задание 6. Найти уравнение касательной к графику в точке . Сделать чертеж.

1)

2) .

Ответы: 5.1) , 5.2) , 5.3) , 5.4) производная не существует; 6.1) y=3x+1, 6.2) y=3x-1.

Монотонность и экстремумы функции. Краткие теоретические сведения.

Функцию называют убывающей (возрастающей) на промежутке х, если для любых , верно неравенство

.

Если внутри промежутка Х, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точку называют точкой максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

При этом значение функции в точке называют максимумом (минимумом) функции .

Максимумы и минимумы функции называют экстремумами функции.

На рис. Точки и являются точками максимума функции .

Соответствующие максимумы равны и . Точки и являются точками минимума . Соответствующие минимумы функции равны и .

Необходимые условия существования экстремума.

Если функция имеет экстремум в точке , то либо (точку называют стационарной) либо не существует (точку называют критической).

Обратное утверждение неверно: критические и стационарные токи не обязательно являются точками экстремума.

Достаточное условие существования экстремума.

Если при переходе через точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то – точка минимума.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремум

Шаг 1. Найти область определения функции .

Шаг 2. Найти производную .

Шаг 3. Найти стационарные и критические точки

Шаг 4. Разбить на интервалы стационарными и критическими точками.

Шаг 5. Определить знак производной в каждом из полученных интервалов и сделать выводы о промежутках монотонности и точках экстремума .

Шаг 6. Вычислить экстремумы (экстремальные значения функции).