Решение типовых заданий.
Задание
1.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А
(2, 1, -3) и перпендикулярной вектору
.
Решение:
По формуле (1) получаем уравнение искомой плоскости
или
.
Задание
2.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А
(2, 1, -3) и параллельной плоскости
.
Решение:
Плоскость, параллельна плоскости , очевидно перпендикулярна вектору . Уравнение такой плоскости, проходящей через точку А (2, 1, -3) получено в задание №1.
Задание
3.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки
,
,
.
Решение:
Шаг
1.
Составить уравнение плоскости (1),
проходящей через точку
:
(*)
Шаг
2.
Т.к. точки
и
также лежат на этой плоскости, их
координаты удовлетворяют уравнению
плоскости, т.е.
или
.
Выразим в системе уравнений две неизвестные через третью:
.
Шаг 3. Подставим полученные значения для В и С в уравнение плоскости (*):
.
Откуда после сокращения на А получим общее уравнение плоскости:
или
или
.
Задание
4.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
и:
а) параллельной оси Оу;
б)
точку
;
в)
параллельно прямой
.
Решение:
а)
Пусть точка
- произвольная точке, лежащей на искомой
прямой, тогда вектор
и единичный вектор
,
направленный по оси Оу,
лежат на параллельных прямых и имеет
пропорциональные компоненты:
.
Получили искомое уравнение прямой.
б) Искомое уравнение прямой получим по формуле (6):
или
в) Шаг 1. Приведем уравнение прямой, заданной системой, к каноническому виду:
,
Приравняем выражение для х:
,
,
.
(*)
Сложим
уравнения системы:
,
откуда
.
(**)
Приравним (*) и (**), получим уравнение прямой:
Шаг
2.
Т.к. искомая прямая параллельна данной,
то направляющий вектор у них может быть
один
.
Тогда по формуле (7) уравнение искомой
прямой имеет вид
.
Задания для самостоятельного решения.
Задание 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и
а) перпендикулярной вектору п;
б) параллельной плоскости Q;
в)
точки
и
.
1)
а)
|
б)
|
в)
|
и
2)
а)
|
б)
|
в)
|
и
3)
а)
|
б)
|
в)
|
и
4)
а)
|
б)
|
в)
|
и
Задание 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и
а) точку ;
б) параллельно прямой l.
1)
а)
|
б)
|
2)
а)
|
б)
|
3)
а)
|
б)
|
4)
а)
|
б)
|
Ответы: 5.1) а) 2x+y+3z+7=0, б) -x+y+z=0, в) -2x-2y+z-2=0;
5.2) а) x+y-z+1=0, б) 3y-4z-12=0, в) 5x-6y+z-7=0;
5.3) а) y+2z-7=0, б) -3x+y+z-7=0, в) –y+z-2=0;
5.4) а) -3x+y-3z-1=0, б) x-2=0, в) 10x+6y+13z=0.
6.1)
а)
,
б)
;
6.2)
а)
,
б)
;
6.3)
а)
,
б)
;
6.3)
а)
,
б)
.