Задания для самостоятельного решения.

Задания 3. Даны матрицы: , , .

Найти матрицы , , , , , если они существуют.

Задания 4. Даны матрицы: , , .

Найти матрицы , , , , если они существуют.

Задания 5. Даны матрицы: , , .

Найти матрицы , , , , , , , если они существуют.

Задания 6. Даны матрицы: , , , .

Найти матрицы	1)	4)
	2)	5)
	3)	6)

Ответы: 3) AB= , BC – не существует, B–C= , 3A= , A+B – не существует; 4) AB= , A+2C= , BC – не существует, AC= , B+C – не существует;

5) , ABC= , ,

ACB – не существует, , - не существует,

, ;

6) , - не существует, ,

, , .

Домашнее задание.

Задания 7. Даны матрицы: , , .

Найти матрицы , , , , , , , если они существуют.

Задания 8. Даны матрицы: , ,

Найти матрицы, если они существуют	1)	4)
	2)	5)
	3)	6)

Ответы: 7) , , , - не существует, , - не существует, , ;

8) , , , , , .

Определители. Формулы Крамера. Краткие теоретические сведения.

Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число

. (1)

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число

. (2)

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число

(3)

Схема вычисления определителя третьего порядка

Некоторые свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2)

3) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

4) .

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестным

(4)

Определителем системы (4) называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:

.

Обозначим - определитель, получающийся из заменой k-го столбца столбцом свободных членов системы (4).

Теорема Крамера. Если , то система (4) имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (2) получили название формул Крамера.

Решение типовых заданий.

Задание 1. Вычислить определитель матрицы:

а) , б) , в) , г) .

Решение:

а) Матрица A второго порядка, поэтому определитель находим по формуле (2):

.

б) Матрица B третьего порядка, поэтому определитель находим по формуле (3):

в) Матрица C содержит столбец, состоящий из нулей, поэтому по свойству 1): .

г) Матрица D содержит 2 строки (1-я и 3-я) с пропорциональными элементами, поэтому по свойству 3): .

Задание 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

.

Решение:

Шаг 1: найти определитель системы

.

Т.к. , то по теореме Крамера система имеет единственное решение

Шаг 2: вычислить определители :

.

.

Шаг 3: по формулам Крамера (5) найти решение системы

, .

Шаг 4: сделать проверку, подставив полученные значения переменных в систему уравнений:

, .