Решение типовых заданий.
Задание
1.
Найти
.
Решение:
Шаг 1. Воспользуемся последовательно свойствами 4) и 3):
.
Шаг
2.
Так как в первом из полученных интегралов
аргумент подынтегральной функции не
равен аргументу, стоящему под знаком
дифференциала:
,
то преобразуем подынтегральное выражение
так, чтобы они оказались равны.
.
Шаг
3.
С помощью таблицы интегралов определим
вид первообразных функций: 1)
2)
.
Шаг 4. Выполним проверку:
.
Получена подынтегральная функция исходного интеграла, следовательно неопределенный интеграл найден верно.
Задания для самостоятельного решения.
Задание
2. Найти
.
Задание
3. Найти
.
Задание
4. Найти
.
Задание
5. Найти
.
Задание
6. Найти
.
Задание
7. Найти
.
Задание
8. Найти
.
Задание
9. Найти
.
Задание
10. Найти
.
Ответы:
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Домашнее задание.
Задание
11. Найти
.
Задание
12. Найти
.
Задание
13. Найти
.
Задание
14. Найти
.
Ответы:
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.
Формулы интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле.
Краткие теоретические.
Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле
(1)
Где
функции
и
имеют производные и оба интеграла
существуют.
Другой вид формулы:
(1/)
Формула замены переменной в неопределенном интеграле
,
где (2)
Производные
и оба интеграла существуют.
Другой вид формулы:
. (2/)
Решение типовых заданий
Задание
1.
Найти
.
Решение:
Подынтегральная
функция представляет собой произведение
двух функций
и
.
Положим
и
,
тогда
и
.
По формуле (1/) получим
.
Проверим
результат:
.
Задача решена верно.
Задание
2.
Найти
.
Решение:
Положим
,
тогда
.
По формуле (2/)
получим
.
Сделаем проверку:
.
Задача решена верно.
Задания для самостоятельного решения.
Задание
3. Найти
.
Задание
4. Найти
.
Задание
5. Найти
.
Задание
6. Найти
.
Задание
7. Найти
.
Задание
8. Найти
.
Задание
9. Найти
.
Задание
10. Найти
.
Задание
11. Найти
.
Задание
12. Найти
.
Ответы:
3)
;
4)
;
5)
;
6)
; 7)
; 8)
;
9)
; 10)
; 11)
;
12)
;
Домашнее задание.
Задание
13. Найти
.
Задание
14. Найти
.
Задание
15. Найти
.
Задание
16. Найти
.
Ответы:
13)
;
14)
;
15)
;
16.
.
Определенный интеграл.
Краткие теоретические сведения.
Для вычисление определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница
Соответствующие формулы примут вид
(1)
,
где
,
(2)
Решение типовых заданий.
Задание
1.
Вычислить
.
Решение:
Используя последовательно свойства (1), (2), получим
.
По таблице интегралов найдем первообразные для подынтегральных функций и применим формулу Ньютона-Лейбница:
Задание
2.
Вычислить
.
Решение:
Положим
.
Тогда при
,
при
,
.
По формуле замены переменной:
Задание 3.
Вычислить
.
Решение:
Применим формулу (1) интегрирования по частям:
.
По формуле Ньютона-Лейбница имеет