Решение типовых заданий.

Задание 1. Разложить функцию по степеням .

Решение:

Шаг 1. Найти производные функции до включительно:

…

Шаг 2. Если все производные существуют в окрестности точки , то справедлива формула Тейлора (1). Для ее составления вычислить значения производных в точке .

Поскольку в задаче требуется разложить функцию по степеням , то . Все производные существуют, вычислим их значения в точке :

…

Шаг 3. Записать формулу Тейлора для функции :

в окрестности точки .

Задание 2. Вычислить приближенно .

Решение:

Шаг 1. Определить значение какой функции и в какой точке требуется вычислить.

.

Шаг 2. Выбрать как можно ближе к точке точку , в которой удобно вычислить значение функции .

Выберем , т.к. .

Шаг 3. Найти

Шаг 4. Записать приближенное равенство (2) и произвести вычисления.

.

Т.о., .

Задания для самостоятельного решения.

Задание 3. Разложить функцию в окрестности точки по формуле Тейлора

1)

2)

3)

4)

5)

Задание 4. Вычислить приближенно:

1)

2)

3)

4)

Ответы: 3.1) ;

3.2) ;

3.3) ;

3.4) ;

3.5) .

4.1) 4,12; 4.2) 0,502; 4.3) 1,01; 4.4) 1,09;

Домашнее задание.

Задание 5. Разложить функцию в окрестности точки по формуле Тейлора.

1)

2)

Задание 6. Вычислить приближенно:

1)

2)

3)

Ответы: 5.1) ;

5.2) ;

6.1) 0,3; 6.2) 5,99; 6.3) 0,000002.

Исследование функции с помощью производных.

Краткие теоретические сведения.

Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Обозначим дугу графика функции , соответствующую интервалу

Если дуга лежит не ниже (не выше) касательно к графику функции , проведенной в любой точке , то функцию называют выпуклой вниз (выпуклой вверх) в интервале .

Точку на графике функции называют точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости.

Теорема 1. Если функция имеет вторую производную в интервале и в каждой точке выполняется , то является выпуклой вниз (выпуклой вверх) в интервале Х.

Теорема 2. Если точка является точкой перегиба функции , то либо , либо не существует.

Теорема 3. Если слева и справа от точки вторая производная существует и имеет родные знаки, то в точке график функции имеет перегиб.

Алгоритм исследования функции

Шаг 1. Найти область определения функции .

Шаг 2. Проверить наличие у исследуемой функции дополнительных свойств (четность, нечетность, периодичность).

Шаг 3. Найти точки пересечения графика с осями координат

Шаг 4. Найти и интервалы монотонности и экстремумы функции.

Шаг 5. Найти и интервалы выпуклости и точки перегиба функции….

Шаг 6. Построить эскиз графика .

Решение типовых заданий.

Задание 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение:

Шаг 1. .

Шаг 2. Найти вторую производную функции .

,

Шаг 3. Найдем точки, в которых по Теореме 2 может оказаться перегиб графика функции:

существует во всех точках .

Шаг 4. Разбить точками возможного перегиба на части и определить знак в каждом из полученных интервалов.

.

Шаг 5. Определить промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции

, следовательно, по Теореме 1 выпукла вверх.

, следовательно, по Теореме 1 выпукла вниз.

По Теореме 3 в точке график имеет перегиб.

Задание 2. Исследовать функцию .

Решение:

Шаг 1. .

Шаг 2. .

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической

Шаг 3. Точки пересечения с осями

Ох:	Оу:
Точки (0; 0), (-3; 0)	Точки (0; 0)

Шаг 4.

всюду существует в

Функция возрастает в и , убывает в (-2; 0).

Точка есть точка максимума. Точка есть точка минимума функции.

Шаг 5. Как определили в задание 1, выпукла вниз в , выпукла вверх в

- точка перегиба графика

Шаг 6.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 3. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции :

1) 2) 3)

Задание 4. Исследовать функции

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Ответы: 3.1) функция выпукла вверх при , выпукла вниз при ;

3.2) функция выпукла вверх при , выпукла вниз при ;

3.3) функция выпукла вверх при , выпукла вниз при .

Домашнее задание.

Задание 5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика

1) ; 2)

Задание 6. Исследовать функции:

1) ; 2) .

Ответы: 5.1)функция выпуклая вверх при , выпуклая вниз при ;

3.2) функция выпуклая вверх при , выпуклая вниз при .

Неопределенный интеграл.

Краткие теоретические сведения.

Функцию называют первообразной функцией для функции на промежутке Х, если в каждой точке выполняется

(1)

Пример 1: Функции вида являются первообразными для функции , т.к. .

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называют неопределенным интегралом от функции и обозначают

, где - первообразная для (2)

При этом функцию называют подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.

Пример 2: .

Основные свойства неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4) .

3. Таблица основных интегралов

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)