Прямая на плоскости. Краткие теоретические сведения.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

, где . (1)

Если k = 0, то прямая y = b параллельно оси Ох.

Если , то не существует и прямая х=а параллельна оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и _.

_. (2)

Общее уравнение прямой на плоскости

, (3)

где А, В, С – числовые коэффициенты, причем _.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть заданы две прямые

. (4)

. (5)

Решение типовых заданий.

Задание 1: составить уравнение прямой, проходящей через точку А (3;-2):

а) под углом 135 к оси Ох; б) параллельно оси Оу; в) параллельно оси Ох.

Решение:

Шаг 1: найти угловой коэффициент прямой:

.

Шаг 2: подставить значение углового коэффициента в уравнение прямой (1):

(*)

Шаг 3: подставить в уравнение прямой (*) точку, через которую проходит прямая и выразить значение b

b=1

Шаг 4: подставить значение b в уравнение прямой (*):

.

б) Уравнение прямой, проходящей через т. А (3;-2) параллельно оси Оу, имеет вид х=3.

в) Уравнение прямой, проходящей через т. А (3;-2) параллельно оси Ох, имеет вид у=-2.

а) б) в)

Ответ: а) у=-х+1; б) х=3. в) у=-2.

Задание 2: Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и B(3;-2):

Решение:

Шаг 1: Подставим точки А и В в уравнение прямой (2):

Шаг 2: Выразить у через х:

Ответ: .

Задание 3: Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения прямых и параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение:

Шаг 1: Найти точку пересечения двух прямых, решив систему уравнений:

.

Шаг 2: Определить угловой коэффициент прямой .

Шаг 3: найти угловые коэффициенты прямых параллельных и перпендикулярных прямой по формулам (4), (5):

Шаг 4: подставить т. А в уравнения прямых параллельных и перпендикулярных прямой и найти значения b:

.

Шаг 5: по формуле (1) написать уравнения искомых прямых

- прямая l параллельна прямой :

- прямая m параллельна прямой :

.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 4. Составить уравнение прямой, проходящей через т. А (2; 3):

а) параллельно оси Ох; б) параллельно оси Оу; в) составляющей с осью Ох угол 45.

Задание 5. Составить уравнение прямой, проходящей через т. В (-1; 4):

а) под углом 60 к оси Ох; б) перпендикулярно оси Ох; в) перпендикулярно оси Оу.

Задание 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С (6; 0):

а) под углом 135 к оси Оу; б) параллельно оси Ох; в) параллельно оси Оу.

Задание 7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

а) А (3; 1) и В (5; 4) б) А (3; 1) и С (3; 4) в) А (3; 1) и D (-4; 1).

Задание 8. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых и параллельно и перпендикулярно прямой .

Задание 9. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых и параллельно и перпендикулярно прямой .

Задание 10. Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых и параллельно и перпендикулярно прямой .

Задание 11. Найти уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами А (-3; 0), В (2; 5), С (3; 2).

Задание 12. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 24 кв.ед.

Ответы: 4) а) y=3, б) x=2, в) y=x+1; 5) , x=-1, y=4; 6) а)y=-x+6,

б) y=0, в) x=6; 7) а) , б) , в) ; 8) y=2x+5, y=-0,5x;

9) , ; 10) , ; 11) y=-x +7; 12) .