Задания для самостоятельного решения.
Задание
1. Найти целые корни уравнения
.
Задание
2. Решите уравнение
.
Задание
3. Решите уравнение
.
Задание
4. Многочлен
разделить на
,
используя схему Горнера.
Задание
5. Вычислить
,
где
,
используя схему Горнера.
Задание
6. Решить уравнение
.
Задание
7. Решите уравнение
.
Ответы: 1) -2, 1, 3;
2)
,
,
;
3)
,
,
,
;
4)
;
5)
;
6)
,
,
,
;
7)
,
,
.
Домашнее задание.
Задание
8. Найдите целые корни уравнения
.
Задание
9. Решите уравнение
.
Задание
10. Решите уравнение
.
Задание
11. Многочлен
разложите на множители.
Задание
12. Решите уравнение
.
Ответы: 8) 1; 9)
;
10)
,
,
;
11)
;
12)
,
.
Рациональные неравенства. Краткие теоретические сведения.
Рациональное
неравенство
с одной
переменной х
– это неравенство вида
,
где
и
- рациональные выражения.
Область определения неравенства - это пересечение областей определения функций и .
Частным решением неравенства и называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной х.
Решением неравенства называется множество всех его частных решений.
Два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают.
Теорема 1. Если
к обеим частям неравенства прибавить
одну и ту же функцию
,
которая определена при всех значениях
из области определения исходного
неравенства, и при этом отставить без
изменения знак неравенства, то получится
неравенство, равносильное исходному.
и
- равносильные неравенства.
Следствие:
Неравенства
равносильны.
Теорема 2. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.
и
,
- равносильны.
и
,
-
равносильны.
Теорема 3. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию , которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.
и
,
- равносильны.
и
,
-
равносильны.
Решение типового задания.
Задание
1. Решить неравенство:
.
Решение:
Шаг 1.
Функция
обращается в ноль в точках:
,
,
.
Эта функция не определена в точке
.
Все эти четыре
точки разбивают числовой луч на пять
промежутков:
,
,
,
и
.
Шаг 2. Определим знак функции на каждом из этих промежутков.
В промежутке
возьмем точку
.
Получим
.
В промежутке
возьмем точку
.
Получим
.
Аналогично определяем знаки на промежутках , и .
Шаг 3. Расставим знаки на числовой прямой
-3
0
2
4
Т. к. знак неравенства
,
то выделяем промежутки со знаком “+”.
Это промежутки
,
и
.
Ответ:
.
Задание
2. Решите неравенство
.
В ответе укажите количество целых
решений.
Решение:
Шаг
1.
Разложим на множители числитель и
знаменатель алгебраической дроби
,
содержащейся в левой части неравенства.
В числители
.
В знаменателе:
,
.
Т.о. неравенство преобразуется к виду:
.
Шаг 2.
Приравняем числитель и знаменатель
дроби к нулю
,
,
,
.
Отметим эти точки на числовой прямой
-1
0
1
6
Числовая прямая разбивается указанными точками на 5 промежутков.
Шаг 3. Определим знак на каждом из этих промежутков.
-1
0
1
6
Шаг 4.
Выберем те промежутки, где выполняется
неравенство
(т.е. с минусом)
.
Шаг 5. Выделим целые числа, входящие в эти промежутки: 2, 3, 4 , 5.
Количество целых решений – 4.
Ответ: 4.
Задание 1. Решите неравенство:
.
Ответ:
.
Задания для самостоятельного решения.
Задание
3. Решите неравенство:
.
Задание
4. Решите неравенство:
.
В ответе укажите наибольшее целое
решение.
Задание
5. Решите неравенство:
.
Задание
6. Решите неравенство:
.
Задание 7. Найдите область определения функции
.
Задание
8. Решите неравенство
.
Ответы: 3)
;
4)
.
Наибольшее целое – 0; 5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
Домашнее задание.
Задание
9. Решите неравенство:
.
Задание
10. Решите неравенство:
.
Задание
11. Решите неравенство:
.
В ответе запишите наибольшее целое
решение неравенства.
Задание 12.
Решите неравенство
.
В ответе запишите сумму всех целых
решений неравенства.
Ответы: 9)
;
10)
;
11) 6; 12) -7.
Уравнение и неравенство с модулем.
Краткие теоретические сведения.
К уравнениям с модулем относятся линейные, квадратные или рациональные уравнения, содержащие один или несколько знаков модуля. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующие методы:
1) раскрытие модуля по определению;
2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3) метод разбиения на промежутки.
Определение модуля функции:
Пример 1.
Решите уравнение
.
Решение:
Шаг 1. По определению модуля имеем
Шаг 2. Получим две системы:
или
Шаг 3. Решаем полученные системы
или
Шаг 4.
Записываем ответ:
,
.
Пример
2. Решите уравнение:
.
Решение. В этом случае удобнее применить способ возведения обеих частей уравнения в квадрат.
Шаг 1. Возведем обе части уравнения в квадрат
.
.
Шаг 2. Перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую. Приведем подобные.
.
Шаг 3. Решим квадратное уравнение
и
.
Ответ: и .
Пример
3. Решите уравнение
.
Решение: В данном случае удобно применить метод разбиения на промежутки.
Шаг 1.
Выражение, стоящее под знаком модуля
приравняем к нулю
и
Получим
и
.
Шаг 2. Нанесем на числовой луч полученные значения х.
Числовой луч при
этом разбивается на три промежутка:
,
,
.
Шаг 3. Решим уравнение на первом промежутке
При
.
.
Шаг 4. Решим уравнение на втором промежутке.
При
.
.
Шаг 5. Решим уравнение на третьем промежутке.
При
.
решений нет.
Шаг 6. В ответ запишем объединение решений во всех случаях.
Ответ:
.