Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Решение.

Шаг 1. Находим область определения функции: .

Шаг 2. Определяем все стационарные точки. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

. Корни уравнения: которые являются стационарными точками.

Шаг 3. Определяем все критические точки. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует. Критических точек нет.

Шаг 4. Рисуем числовую ось, на нее наносим пустыми точки, в которых нарушается область определения, а затем закрашенными стационарные и критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.

Шаг 5. Определяем знак производной на каждом из промежутков, выбирая точки из промежутков и подставляя в производную.

Шаг 6. Делаем выводы, используя достаточное условие экстремума и достаточное условие монотонности.

Функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и . Кроме того, в окрестностях стационарных точек и производная меняет знак, значит, они являются точками экстремума. Таким образом, – точка максимума и – точка минимума .

Ответ: функция убывает в интервале , возрастает в интервалах и ; , .

Задания для самостоятельной работы

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции.

26.1. 26.2.

26.3. 26.4.

26.5. 26.6.

26.7. 26.8.

26.9. 26.10.

Домашнее задание

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции.

26.11. 26.12.

26.13.

Ответы

26.1. Функция возрастает при , функция убывает при ; – максимум, – минимум. 26.2. Функция возрастает при , функция убывает при ; – максимум, – минимум. 26.3. Функция возрастает при функция убывает при ; – максимум, – минимум. 26.4. Функция возрастает при , функция убывает при – максимум, – минимум.

26.5. Функция возрастает при , функция убывает при , – максимум, и – минимум.

26.6. Функция возрастает при , функция убывает при – максимум, и - минимум.

26.7. Функция возрастает при , функция убывает при – максимум, и – минимум.

26.8. Функция возрастает при функция убывает при ; и – максимум, – минимум.

26.9. Функция возрастает при функция убывает при ; – максимум, – минимум. 26.10. Функция возрастает при функция убывает при ; – минимум, – максимум. 26.11. Функция возрастает при , функция убывает при ; – максимум, – минимум. 26.12. Функция возрастает при , функция убывает при – максимум, и – минимум. 26.13. Функция возрастает при , функция убывает при – максимум, и – минимум.

27. Наибольшее и наименьшее значения функции Краткие теоретические сведения

Пусть функция непрерывна на отрезке . Наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке называется самое большое (маленькое) из всех ее значений на этом отрезке. Функция достигает наибольшее или наименьшее значение на отрезке либо на концах отрезка , либо в критических точках, принадлежащих .

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .

Шаг 1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок.

Шаг 2. Определяем все критические точки, попадающие в отрезок. Для этого найдем те точки, в которых производная равна нулю либо не существует.

Если критических точек нет или они не попадают в отрезок, то переходим к следующему пункту.

Шаг 3. Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка .

Шаг 4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.