Примеры решения типовых задач
Пример 1.
Вычислите предел
.
Решение.
Шаг 1. Подставим
в дробь:
.
В данном случае получена так называемая
неопределенность
.
Применим правило 1.
Шаг 2.Разложим
числитель и знаменатель на множители.
Для того чтобы разложить числитель на
множители, нужно решить квадратное
уравнение:
.
Находим дискриминант:
.
По формуле
находим корни уравнения:
,
.
Таким образом
.
Числитель на
множители разложен. Знаменатель
уже является простейшим множителем, и
упростить его никак нельзя.
.
Шаг 3.
Сокращаем дробь на
:
.
Ответ:
.
Пример 2. Вычислите
предел
.
Решение.
Шаг 1.
Подставим
в дробь. В данном случае получена так
называемая неопределенность
.
Применим правило 2. Наивысшая степень
многочленов числителя и знаменателя
равна 5.
Шаг 2.
Разделим числитель и знаменатель дроби
на
:
Шаг 3.
Подставим
в полученное выражение и учитывая, что
,
получим:
Ответ:
Пример 3.
Вычислите
предел
.
Решение. Наивысшая
степень многочленов числителя и
знаменателя равна 6. Делим на
,
получим:
.
Ответ:
.
Задания для самостоятельной работы
Вычислите пределы.
23.1.
. 23.2.
23.3.
23.4.
23.5.
23.6.
23.7.
. 23.8.
23.9.
. 23.10.
23.11.
23.12.
Домашнее задание
Вычислите пределы.
23.13.
23.14.
23.15.
. 23.16.
23.17.
.
Ответы
23.1.
23.2.
23.3. 5. 24.4.
23.5. 4. 23.6.
23.7.
23.8. 0. 23.9.
23.10.
23.11.
23.12.
23.13.
23.14.
23.15.
23.16.
23.17. 0.
24. Вычисление производных
Краткие теоретические сведения
Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента в этой
точке при стремлении приращения аргумента
к нулю:
.
Правила дифференцирования
;
.
Формулы дифференцирования
1.
9.
2.
10.
3.
11.
4.
12.
5.
13.
6.
14.
7.
15.
8.
16.
Примеры решения типовых задач
Пример 1.
Найти значение производной функции
в заданной точке
.
Решение.
Шаг 1. Находим производную заданной функции, применяя правила дифференцирования суммы и вынесения числового множителя за знак производной.
.
Шаг 2. Вычисляем значение производной в заданной точке.
.
Ответ: 20.
Пример 2.
Найти производную функции
.
Решение. Находим производную заданной функции, применяя правила дифференцирования произведения и вынесения числового множителя за знак производной.
Ответ:
Пример 3. Найти
производную функции
.
Решение. Находим производную заданной функции, применяя правило дифференцирования частного:
.
Ответ.
.
Задания для самостоятельной работы
Найти значение производной в заданной точке.
24.1.
,
24.2.
,
.
Вычислите производную функции.
24.3.
24.4.
.
24.5.
24.6.
24.7.
24.8.
24.9.
24.10.
24.11.
24.12.
24.13.
24.14.
24.15.
24.16.
24.17.
24.18.
