Примеры решения типовых задач
Пример 1. Решите систему уравнений
Решение.
Шаг 1. Запишем матрицу этой системы
.
Шаг 2. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Сначала поменяем первую и вторую строки местами
.
Получим нули в первом столбце во второй и третьей строках. Для этого вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3. Эти преобразования записаны справа от матрицы. Получаем
Получим нуль во втором столбце в третьей строке. Для этого выполним указанное преобразование. Получаем
Шаг 3. Получилась строка, в которой до черты стоят нули, а после черты ненулевое число (третья строка). Делаем вывод: система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 2. Решите систему уравнений
Решение.
Шаг 1. Запишем матрицу этой системы
Шаг 2. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду
Шаг 3. Число строк в ступенчатой матрице совпадает с числом неизвестных, значит, решение единственное.
Шаг 4. Найдем решение. Для этого выполним преобразования.
Из последней
матрицы получаем ответ
,
,
Этот ответ можно также записать в виде
тройки чисел
.
Ответ: .
Пример 3. Решите систему уравнений
Решение.
Шаг 1. Запишем матрицу системы
.
Шаг 2. Приведем матрицу к ступенчатому виду
После вычеркивания нулевой строки получаем ступенчатую матрицу.
Шаг 3. В ступенчатой матрице число строк (2) меньше числа неизвестных (4). Делаем вывод: система имеет бесконечное множество решений.
Шаг 4.
Выбираем основные и свободные неизвестные.
Число основных неизвестных совпадает
с числом строк в ступенчатой матрице
(2). В качестве основных можно выбрать
неизвестные, с которых начинаются
уравнения. В данном случае
и
.
Шаг 5. Выразим
основные неизвестные через свободные
(
и
).
Выполним преобразования
Возвращаемся к
уравнениям:
Выражаем из этих равенств основные неизвестные и и записываем ответ.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Решите системы уравнений.
22.1.
22.2.
22.3.
22.4.
22.5.
22.6.
22.7.
22.8.
22.9.
22.10.
22.11.
22.12.
Домашнее задание
Решите системы уравнений.
22.13.
22.14.
22.15.
Ответы
22.1. Ø.
22.2.
.
22.3.
22.4. Ø. 22.5.
22.6.
22.7. Ø.
22.8.
22.9.
22.10. Ø. 22.11.
22.12
22.13.
22.14 Ø. 22.15.
23. Вычисление простейших пределов
Краткие теоретические сведения
Число A
называется пределом функции
в точке a,
если эта функция определена в некоторой
окрестности точки a
за исключением, быть может, самой точки
a,
и для каждого
существует
такое, что для всех x,
удовлетворяющих условию
,
,
выполняется
неравенство
.
При вычислении
пределов функций могут возникать
неопределенности вида
или
.
Правило 1. Если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
Правило
2.
Если в числителе и знаменателе находятся
многочлены, и имеется неопределенности
вида
,
то для ее раскрытия необходимо
разделить
числитель и знаменатель дроби на х
в наивысшей степени.
При вычислении
пределов могут возникнуть ситуации
или
,
где
.
Здесь надо иметь в виду, что
и
.
Алгоритм вычисления пределов
Подставить в выражение предельное значение аргумента.
Определить присутствует ли неопределенность. Если нет, дать ответ.
Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.
Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.