Примеры решения задач
Пример
1. Найти
сумму матриц
и
.
Решение.
Ответ:
.
Пример
2.
Найти матрицу
,
если
,
.
Решение.
Шаг
1.Найдем
матрицу
.
Каждый элемент матрицы А
умножим на два:
Шаг
2.
Найдем матрицу 3В.
Каждый элемент матрицы В
умножим на три:
Шаг 3. Найдем матрицу С. Сложим соответствующие элементы матриц 2А и 3В.
Ответ:
Пример
3. Найти
произведение матрицы А
на матрицу В,
если
,
.
Решение. Умножение матрицы А на матрицу В возможно, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
=
.
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения
19.1. Найти
матрицу
,
если
.
19.2. Найти
матрицу
,
.
19.3.
Найти матрицу
,
если
,
.
19.4.
Найдите
матрицу
,
если
,
.
Даны матрицы
и
.
19.5.
Найдите матрицу
.
19.6. Найдите
произведение
19.7. Найдите
произведение
Найдите произведение матриц.
19.8.
19.9.
19.10.
19.11.
19.12.
19.13.
Найдите матрицу
,
если
,
Домашнее задание
19.14. Найти
матрицу
,
если
,
.
19.15.
Найдите
матрицу
,
если
,
.
Найдите произведение матриц.
19.16.
19.17
Ответы
19.1.
19.2.
19.3.
19.4.
.
19.5.
19.6.
19.7.
19.8.
19.9.
19.10.
19.11.
19.12.
19.13.
19.14.
19.15.
19.16.
19.17.
20. Обратная матрица
Краткие теоретические сведения
Понятие обратной
матрицы вводится только для квадратных
матриц. Если А – квадратная матрица, то
обратной для нее матрицей называется
матрица
,
удовлетворяющая условию
.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Если условия
теоремы выполнены, то матрица обратная
к матрице
находится следующим образом:
,
где
-
алгебраические дополнения элементов
матрицы А
(
).
- миноры элементов матрицы А.
Минором
элемента
квадратной матрицы А
п-го
порядка называется определитель (п-1)-
го порядка,
полученный из определителя матрицы А
вычеркиванием i-ой
строки и
j-го столбца.
Аналогично для
матриц второго порядка обратной будет
следующая матрица:
Примеры решения типовых задач
Пример 1.Для матрицы найдите:
а) миноры всех её элементов; б) алгебраические дополнения всех её элементов.
Решение. А)
Найдем минор
.
Вычеркнем в матрице А первую строку и
первый столбец, получим
.
Рассуждая аналогично, получим
,
,
.
Б) Найдем
алгебраическое дополнение
.
Аналогично,
,
,
.
Ответ:
А)
,
,
,
.
Б)
,
,
,
.
Пример 2. Найти
матрицу, обратную матрице
.
Сделать проверку. Записать алгоритм
решения.
Решение.
Шаг 1.
Вычислим определитель матрицы А.
Следовательно, обратная матрица
существует.
Шаг 2.
Найдем миноры всех элементов матрицы
А.
Получим матрицу миноров
Шаг 3.
Найдем алгебраические дополнения всех
элементов матрицы А.
Получим матрицу алгебраических
дополнений:
.
Шаг 4.
Составим обратную матрицу
.
Шаг 5.
Выполним проверку. Умножим полученную
обратную матрицу
на исходную матрицу А.
Исходя из определения обратной матрицы, матрица найдена правильно.
Ответ: .
Пример 3. Найдите
матрицу, обратную матрице
.
Решение.
Шаг 1.
Вычислим определитель матрицы А.
Следовательно, обратная матрица
существует.
Шаг 2.
Найдем миноры всех элементов матрицы
А. Для вычисления
вычеркнем
в матрице А первую строку и первый
столбец, получим
.
Аналогично находим миноры остальных
элементов матрицы А. Получим матрицу
миноров
.
Шаг 3.
Найдем алгебраические дополнения всех
элементов матрицы А. Получим матрицу
алгебраических дополнений:
.
Шаг 4.
составим обратную матрицу
.
Ответ:
