Примеры решения типовых задач

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Разложим знаменатель второй дроби на множители. Для этого решим уравнение Его корни и .

Тогда уравнение можно записать в виде:

После приведения к общему знаменателю получим

Приравняв числитель к нулю, находим , . Однако не является корнем уравнения, так как знаменатель при этом значении равен нулю.

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Перепишем это уравнение в виде

Теперь очевидно, что можно сделать замену . Для новой неизвестной получаем уравнение откуда получаем или Тогда для исходной неизвестной получаем совокупность уравнений: или .

Решив эти уравнения, получаем ответ, содержащий четыре корня.

Ответ: ;

Пример 3. Решите неравенство

Решение.

Шаг 1. Находим нули числителя и знаменателя. Это , и 1.

Шаг 2. Отмечаем эти точки на числовой прямой, при этом - закрашенная, а две другие точки - пустые.

Шаг 3. Для определения знака удобно числитель и знаменатель разложить на множители. Тогда получим

Ставим знаки на промежутках.

Шаг 4. Записываем ответ: . Заметим, что в ответе присутствует изолированная точка.

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

9.1. Решите уравнение

9.2. Найдите сумму корней уравнения

9.3. Найти произведение корней уравнения

9.4. Найдите корень уравнения .

Найти сумму корней или корень (если он единственный) уравнения.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

Решите уравнение.

9.9. 9.10.

Решите неравенства.

9.11. 9.12.

9.13.

9.14. Найдите наибольшее из решений неравенства .

Решите неравенства.

9.15. 9.16.

9.17. 9.18.

9.19. Вычислите сумму всех целых решений неравенства .

9.20. Найдите количество целых решений неравенства, , принадлежащих промежутку .

Домашнее задание

9.21. Решите уравнение

9.22. Найдите сумму корней уравнения .

Решите неравенства.

9.23. 9.24.

9.25. .

Ответы

9.1. 1; . 9.2. . 9.3. 1; . 9.4. . 9.5. 1; 4. 9.6. 1,75. 9.7. 9.8. 6. 9.9. 1; 3. 9.10. 3; 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 1.

9.15. 9.16.

9.17. 9.18. 9.19. 12. 9.20. 1. 9.21. ; 2. 9.22. ; 4. 9.23. 9.24. 9.25

10. Свойства степеней с целыми показателями

Краткие теоретические сведения

Для любых , и любых целых и справедливы следующие равенства:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Если и – целое положительное число, то

По определению полагают, что , для любого .

Стандартным видом числа называют его запись в виде , где , а – целое число.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислите

Решение.

Представим 81 в виде степени с основанием 9, а 16 в виде степени с основанием 4, а затем воспользуемся свойством (3). В результате получим ; Применим это же свойство для .

Затем осуществляем действия деления и умножения, опираясь на свойства (2) и (1): ;

В результате сложения получаем 5.

Ответ: 5.

Пример 2. Преобразуйте выражение

Решение.

Воспользуемся свойством (5) для первого множителя . Затем возводим в -2 степень каждый из множителей числителя и знаменателя:

Осуществляем умножение

Ответ:

Пример 3. Упростите выражение .

Решение.

Представим в виде произведения выражения и , . Вынесем множитель за скобки в числителе первой дроби, . Выражение стоящие в отрицательной степени в знаменателе второй дроби, перенесем в числитель, поменяв показатель степени на положительный. . Воспользуемся свойством (4) для и . В результате получим . После сокращения получаем .

Ответ: .

Пример 4. Согласно результатам демографических исследований в 1244 году население Москвы насчитывало около человек, а согласно прогнозам к 2068 году численность населения Москвы будет составлять человек. Во сколько раз возрастет численность населения Москвы за рассматриваемый период? Ответ округлите до целых.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи разделим значение на . Запишем это выражение в виде дроби , после сокращения получаем ответ 2028, округленный до единиц.

Ответ: 2028.