3. Арифметические операции с обыкновенными дробями Краткие теоретические сведения
Основное свойство дроби: дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.
Правило
сложения и вычитания дробей:
.
Правило
умножения дробей:
Правило
деления дробей:
.
При выполнении действий с дробями важно соблюдать порядок действий (см. параграф 1).
Смешанные числа как правило лучше заменить обыкновенными неправильными дробями.
С десятичными дробями удобно выполнять действия сложения и вычитания. Для выполнения операций умножения и деления десятичные дроби как правило лучше перевести в обыкновенные дроби.
Перед выполнением арифметических операций как правило лучше попытаться дроби сократить.
Пример решения типовой задачи
Вычислите
.
Решение.
Шаг
1. Заменим
смешанные числа обыкновенными дробями.
Шаг 2. Определяем порядок действий. Сначала выполняем вычитание в числителе, затем вычитание в знаменателе. Далее выполняем умножение и деление.
Шаг 3. Выполняем арифметические операции.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Вычислите.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13. Укажите какое из выражений принимает наименьшее значение:
3.14. Укажите какое из выражений принимает наименьшее значение:
3.15.
Вкладчик снял со счета в банке сначала
вклада, затем
оставшихся денег и еще 640 рублей. После
этого на вкладе осталось
первоначальной суммы. Как велик был
вклад?
Домашнее задание
Вычислите.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
Расположите
в порядке возрастания:
,
,
3.20.
Турист проехал расстояние между двумя
городами за три дня. В первый день он
проехал
всего пути и еще 60 км, во второй
всего пути и еще 20 км, а в третий день
всего пути и оставшиеся 25 км. Найти
расстояние между городами.
Ответы
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11. 32. 3.12.
0,5.
3.13. 4. 3.14.
2. 3.15. 2400
рублей. 3.16.
3.17. 33,7. 3.18.
20.
3.19. a,
c,
b.
3.20. 400 км.
4. Линейные уравнения и неравенства Краткие теоретические сведения
Основные свойства уравнений и неравенств
К обеим частям уравнения или неравенства можно прибавить одно и то же число.
Слагаемые можно переносить из одной части уравнения или неравенства в другую, меняя знак этих слагаемых.
Обе части уравнения можно умножить на ненулевое число.
Обе части неравенства можно умножить на положительное число.
При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Решить уравнение:
.
Решение. Чтобы избавиться от дробей умножим обе части равенства на наименьший общий знаменатель, равный 30:
.
Раскрываем
скобки:
.
Слагаемые,
содержащие
,
переносим влево, остальные слагаемые
вправо
,
.
Делим
обе части равенства на
:
.
Ответ:
.
Пример 2. Решить неравенство:
.
Решение.
Раскрываем
скобки:
.
Слагаемые, содержащие , переносим влево, слагаемые, не содержащие , переносим вправо
,
.
Делим
обе части неравенства на
,
при этом знак неравенства меняется на
противоположный:
.
Ответ
записываем в виде числового промежутка:
.
Пример 3. Решить систему неравенств
Решение.
Решаем первое
неравенство:
,
.
Решаем
второе неравенство:
,
.
На одной числовой оси изображаем решения обоих неравенств. Решение первого неравенства заштриховываем над осью, а решение второго под осью.
х
Точка
(
)
закрашенная, поскольку первое неравенство
нестрогое, точка 0,3 пустая, поскольку
второе неравенство строгое.
Находим пересечение заштрихованных множеств. Ответ записываем в виде промежутка.
Ответ:
.