12. Свойства логарифмов Краткие теоретические сведения
Логарифмом
числа
по основанию
называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание
чтобы получить число
.
Формулу
(где
,
и
)
называют основным
логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов.
Если
,
,
,
,
,
то справедливы следующие равенства:
; (1)
; (2)
; (3)
. (4)
Формула
перехода от логарифма по одному основанию
к логарифму по другому основанию:
,
где
,
,
,
,
.
Частный
случай формулы перехода:
,
,
,
,
.
Примеры решения типовых задач
Пример
1. Вычислите
Решение.
Степень
основания второго логарифма выносим
перед логарифмом
В результате получим разность логарифмов
с одинаковыми основаниями
Применяем свойство (2) и (4)
Ответ:
Пример
2. Вычислите
.
Решение.
Преобразуем
первое слагаемое
Преобразуем
второе слагаемое
Осуществляем
сложение и записываем ответ:
Ответ: 0,76.
Пример
3. Вычислите
.
Решение.
Воспользуемся
формулой перехода к новому основанию:
Подставим
полученное выражение в исходную дробь
и вычисляем выражение
.
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельной работы
Вычислите.
12.1.
. 12.2.
12.3.
.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
Выразите
через логарифм по основанию 2.
12.16.
Выразите
через логарифм по основанию 3.
12.17.
Выразите
через логарифм по основанию 7.
Вычислите.
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
Найдите значение числового выражения, объяснив используемые свойства.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
12.26.
12.27.
12.28.
12.29.
12.30.
12.31.
Домашнее задание
Вычислите.
12.32.
12.33.
12.34.
12.35.
12.36.
12.37.
Выразите
через логарифм по основанию 2.
Ответы
12.1.
4. 12.2.
0. 12.3.
. 12.4.
2.
12.5.
12.6. 3. 12.7.
2. 12.8.
.
12.9. 3.
12.10.
1. 12.11. 4.
12.12. 0,75.
12.13. 1,5.
12.14.
.
12.15.
12.16.
12.17.
12.18. 2. 12.19.
.
12.20. 9.
12.21.
5. 12.22. 3.
12.23. 5.
12.24. 19.
12.25.
12.26.
.
12.27. 2.
12.28. 27.
12.29. 10.
12.30. 890.
12.31.
12.32.
12.33.
12.34.
12.35.
12.36. 40,5. 12.37.
13. Показательные уравнения и неравенства Краткие теоретические сведения
Показательными уравнениями называют уравнения, в которых неизвестная величина содержится в показателе степени.
Любое
показательное уравнение, в конечном
счете, сводится к уравнению вида
,
которое при
и
равносильно уравнению
.
Решение
показательных неравенств вида
где
основано на двух условиях.
Если
то неравенство
равносильно неравенству
Если
то неравенство
равносильно неравенству
Примеры решения типовых задач
Пример
1.
Решите уравнение
Решение.
Найдем
область допустимых значений решения
уравнения:
и
.
Отсюда
Приведем,
пользуясь свойствами степеней, исходное
уравнение к виду
Основания
степеней равны, выражения равны, значит
равны и показатели степеней. В результате
получаем дробно-рациональное уравнение
.
Умножаем обе части равенства на 3 и
приводим дроби к общему знаменателю,
после приведения подобных получаем
следующее уравнение
Решение этого уравнения
Пример
2. Решите
уравнение
Решение.
Воспользуемся
свойством степеней и преобразуем
уравнение:
Вынесем множитель
за скобки:
Откуда
получаем
;
Выражения равны, основания степеней
равны, значит равны и показатели степеней:
,
Ответ: 1.
Пример
3. Решите
уравнение
Решение
.Приведем
исходное уравнение к виду:
Осуществляем замену
(
),
в результате получаем квадратное
уравнение
Корни этого уравнения
,
Возвращаемся
к замене и решаем два показательных
уравнения
и
,
корнями которых соответственно являются
и
Ответ: 3; 2.
Пример
4. Решите
неравенство
Решение.
Запишем
неравенство в виде
.
Так как основание степени меньше единицы
и больше нуля (показательная функция -
убывающая), то знак неравенства меняется
на противоположный по значению. Таким
образом получаем линейное неравенство
.
Решение записываем в виде числового
промежутка
.
Ответ: .
Пример
5. Решите
неравенство
Решение.
Запишем
неравенство в виде
Так как основание степени больше единицы,
то знак неравенства остается прежним.
В результате получаем квадратичное
неравенство
Находим
корни квадратного трехчлена
,
,
Н
а
числовой прямой отмечаем точки 2 и
,
они обе выколотые, так как неравенство
– строгое.
Определяем знак неравенства на каждом
интервале.
Решение
неравенства –
числовой
промежуток
.
Ответ.
.