3.4. Основные законы алгебры логики
В алгебре логики существует четыре пары основных законов: два переместительных (коммутативных), два сочетательных (ассоциативных), два распределительных (дистрибутивных) и два закона инверсии.
Эти законы устанавливают равносильность различных выражений, которые можно взаимно заменять подобно тому, как это делается в тождествах обычной алгебры. В качестве символа равносильности применяется символ «=», аналогичный алгебраическому символу равенства.
Законы алгебры логики могут быть применены к цифровым (релейным) схемам, их синтезу, анализу и преобразованиям.
Переместительные законы показывают, что для логической суммы и логического произведения порядок расположения переменных не играет никакой роли.
Переместительный закон записывается следующим образом:
относительно
сложения
,
относительно
умножения
.
Сочетательные законы показывают, что результат последовательного сложения или умножения нескольких переменных не зависит от порядка этих действий, т. е. в математических выражениях суммы и произведения не следует писать скобки.
Сочетательные законы записываются так:
относительно
сложения
,
относительно
умножения
.
Распределительный
закон относительно сложения указывает
на то, что общий множитель можно выносить
за скобки:
.
Этот закон, так же как переместительные
и сочетательные законы, подобен
аналогичному закону обычной алгебры.
Распределительный
же закон умножения не имеет аналога в
обычной алгебре:
.
Законы
инверсии
относительно сложения
и относительно умножения
гласят о том, что логические функции,
стоящие в левых частях равенств под
знаком инверсии, противоположны по
своему действию логическим функциям в
правых частях равенств.
Из приведённых выше основных законов алгебры логики и определений конъюнкции и дизъюнкции вытекает ряд следствий. Приводим важнейшие из них:
[блокировка элемента
И
],
[деблокировка элемента
И
],
[элемент И],
,
[элемент ИЛИ],
,
,
[элемент ИЛИ],
,
,
,
,
,
.
Справедливость приведённых формул может быть легко проверена, например, путём начертания соответствующих правым и левым частям равенств релейно-контактных схем. При этом следует иметь в виду, что для таких схем 0 означает постоянно разомкнутую цепь, а 1 — постоянно замкнутую цепь.
3.5. Синтез однотактных схем и их минимизация
Выше отмечалось, что синтез релейных схем сводится в основном к составлению структурной формулы (аналитического выражения), описывающего логические функции, которые должны выполняться данным устройством. Таким образом, при синтезировании схемы должны быть известны (заданы) некоторые логические функции, комбинируя которые, можно получить логическую функцию всего устройства.
Таким образом, ставится задача преобразования первоначальной структурной формулы для получения структурной схемы с минимальным числом структурных элементов. Эта задача носит название минимизации структурной формулы. Очевидно, что минимальной форме аналитического выражения функции, т.е. форме, содержащей минимальное число членов с минимальным числом переменных, будет соответствовать наиболее простая и надежная структурная схема, которая может быть положена в основу принципиальной схемы устройства.
Существует, довольно много методов минимизации булевых функций, однако, остановимся на двух из них (алгебраическом и использование карт Карно), получивших наибольшее распространение.
Алгебраический метод рассмотрим на примере. Допустим дана (составлена) таблица срабатывания:
Булева функция составлена по условиям срабатывания:
Х1
Х2
Х3
Z
Рис.3.6.
