7.3 Панель инструментов Symbolic

Ввод директив символьной математики можно выполнять с помощью панели инструментов Symbolic, представленной на рис. 7.1.

Рисунок 7.1 – Панель инструментов Symbolic.

Директивы символьных преобразований:

Modifiers	Вызов панели для ввода дополнительных модификаторов
float	Представление числовых констант в выражении в форме с плавающей точкой
complex	Выполнение преобразований в комплексной форме
Assume (полагать)	Задание ограничений на значение или тип переменных
solve	Решить уравнение относительно заданной переменной (или нескольких переменных)
simplify	Упростить выражение
substitute	Выполнить замену переменной выражением
factor	Разложить выражение на множители
expand	Раскрыть скобки, перемножить произведения
coeffs	Сформировать вектор коэффициентов полинома
collect	Группировка слагаемых по степеням переменной
series	Разложение в ряд Тейлора или Лорана
parfrac	Разложение на элементарные дроби
fourier invfourier	Прямое и обратное преобразование Фурье
laplace invlaplace	Прямое и обратное преобразование Лапласа
ztrans invztrans	Прямое и обратное Z- преобразование
	Транспонирование, нахождение обратной матрицы, определителя матрицы

7.4 Выполнение символьных преобразований

Дифференцирование, интегрирование

1. С использованием символьного знака равенства:

.

2. Выделить следом курсора выражение, записанное с помощью операторов интегрирования и дифференцирования и выбрать команду Symbolics/Evaluate /Symbolically:

.

3. В выражении выделить переменную, по которой требуется вычислить производную (или интегрировать) и выбрать команду меню Symbolics/Variable/Differentiate (Integrate):

.

Вычисление произведений, сумм, пределов

1. С использованием символьного знака равенства:

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение и выбрать команду: Symbolics/Evaluate/Symbolically:

.

Преобразование выражений

Команда Symbolics/Evaluate/Symbolically эквивалентна символьному знаку равенства:

.

Замена констант в результатах численных вычислений числовыми значениями

Команда float применяется для представления результата в виде выражения, в котором числовые константы представляются в форме с плавающей точкой с заданным количеством знаков после запятой.

С использованием директивы float (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства операция записывается следующим образом:

<вычисляемое выражение> float, <количество значащих цифр>→

Например: .

Для выполнения преобразования с помощью команды Floating Point следует выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду: Symbolics/ Evaluate/Floating Point и в диалоговом окне Floating Point Evaluation (рис. 7.2) задать количество значащих цифр.

Рисунок 7.2 - Диалоговое окно Floating Point Evaluation.

Например:

.

Символьные преобразования комплексных выражений

Возможны следующие способы:

1. С использованием ключевого слова complex (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства (ввод мнимой единицы 1i):

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду Symbolics/Evaluate/Complex:

.

Упрощение выражений

1. С использованием ключевого слова simplify (панель инструментов Symbolic) и символьного знака равенства:

.

2. Выделить следом курсора вычисляемое выражение, выбрать команду Symbolics/Simplify:

.

Команда Symbolics/Expand (ключевое слово символьных преобразований expand )

Команда позволяет выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки

или

2. Приведение подобных слагаемых

3. Сокращение дробей

Выполняется упрощение выражений (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей) с последующим представлением результата в виде суммы отдельных слагаемых.

Команда Symbolics/Factor (ключевое слово factor )

Выполняет преобразования выражений (приведение подобных слагаемых, сокращение дробей) с последующим разложением результата на множители, если это возможно.

Выполняемые действия:

1. Разложение на множители

2. Приведение подобных слагаемых

3. Сокращение дробей

Команда позволяет выполнить разложение числа на простые множители:

Команда Symbolics/Collect (ключевое слово collect )

Выполняет те же преобразования, что и factor, expand, simplify, но результат представляет в виде, упорядоченном по степеням выделенной переменной ( при использовании команды Symbolics/Collect следует выделить переменную в выражении следом курсора). Для выполнения этого преобразования с использованием ключевого слова collect следует после ключевого слова через запятую указать имя переменной, по степеням которой следует упорядочить выражение:

.

Команда Symbolics/Polynomial Coefficients (ключевое слово coeffs )

Команда позволяет сформировать вектор коэффициентов полинома:

Для использования команды Symbolics/Polynomial Coefficients в выражении следует выделить следом курсора переменную, относительно которой следует рассматривать выражение как полином, ( например, a):

.

Команда Symbolics/Variable/Solve (ключевое слово solve )

Позволяет найти решение уравнения, неравенства:

получить символьное решение уравнения F(x)=0 относительно переменной x:

F(x) solve, x→

Примеры:

Перед использованием команды Symbolics/Variable/Solve переменную, относительно которой следует решить уравнение или неравенство, необходимо выделить следом курсора. Например, относительно переменной a:

.

Команда Symbolics/Variable/Substitute (ключевое слово substitute)

Команда позволяет в выражении выполнить замену переменной выражением, хранящимся в буфере. Последовательность действий:

• скопировать в буфер выражение, которым следует заменить переменную;

• выделить следом курсора заменяемую переменную;

• выбрать команду Symbolics/Variable/Substitute.

При использовании ключевого слова substitute следует с помощью панели инструментов Symbolic ввести выражение

F(x) substitute, x=<выражение 1>→

где F(x) – выражение, в котором производится замена

x– переменная, которую следует заменить

<выражение 1> - выражение, на которое следует заменить переменную x.

Например,

Разложение дробно-рациональной функции на простейшие дроби

Для выполнения преобразования применяется команда Symbolics/Variable/ Convert to Partial Fraction (кнопка parfrac панели инструментов Symbolic).

Последовательность действий:

• выделить следом курсора переменную;

• выбрать команду Symbolics/Variable/Convert to Partial Fraction.

При использовании соответствующей директивы следует с помощью кнопки parfrac панели инструментов Symbolic ввести выражение

→

где F(x) (выражение) – дробно-рациональная функция;

x– переменная.

Использование дополнительных модификаторов

При нажатии на кнопку Modifiers панели инструментов Symbolic появляется панель инструментов Modifier:

.

Модификаторы имеют такое назначение:

assume –вводное слово для определений real, RealRange.

real – задает, что переменная принимает вещественное значение, например

.

RealRange – задает, что переменная принимает значение из заданного диапазона, например,

.

Выполнение преобразований с помощью нескольких

По отношению к исходному выражению можно применять несколько различных директив. Для ввода нескольких директив используется расширенный оператор символьного ввода (ввод: Ctrl+Shift+ . или кнопка панели инструментов Symbolycs).

Например:

В примере сначала выполняется замена переменной n значением 5, а потом выполняется преобразование выражения (expand).

Последовательность выполнения действий должна быть записана правильно: - ошибка в порядке записи директив, преобразование выполнено не полностью.

В следующем примере выполняется подстановка значений переменных b и a, решается уравнение, полученное после выполнения подстановки, результат представлен в форме с плавающей точкой с тремя значащими цифрами:

.

ЛЕКЦИЯ 8

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ, ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

В Mathcad решение уравнений и их систем может выполняться как в символьном виде, так и численно. Неравенства в Mathcad можно решать только в символьном виде с использованием команды Solve меню Simbolylics или аналогичной директивы символьных преобразований и символьного знака равенства.

8.1 Решение алгебраических, трансцендентных уравнений с использованием директивы solve и символьного знака равенства

Директива solve применяется для решения уравнений вида или относительно переменной следующим образом

или

(в уравнении знак = следует вводить с помощью панели инструментов Boolean).

Пример. Найти точки пересечения функцией оси абсцисс.

Пример. Найти точки пересечения графиков функций и .

Корни уравнения являются решением задачи: