СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7
§1. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 7
§2. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 9
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 11
§4. ИНТЕГРАЛ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 13
§5 РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ 15
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 18
§6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 18
§7 РЯДЫ ФУРЬЕ 19
§8 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 27
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ 30
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 34
Пояснительная записка
Пособие состоит из 7 параграфов, в которых содержится 21 задание, справочный материал и задачи повышенной сложности. Каждое задание состоит из 24 однотипных задач.
В соответствии с учебным планом расчетно-графическая работа по теме: «Теория функций комплексной переменной и функциональный анализ» выполняется в III семестре. Студент должен решить 20 задач своего варианта. Решение задач, содержащихся в заданиях 19, 22, не является обязательным, но дает возможность получить дополнительные баллы.
В начале семестра преподаватель, ведущий занятия по ТФКП и ФА, сообщает каждому студенту учебной группы номер его варианта. По таблице вариантов (стр. 31) студент определяет какую задачу из каждого задания ему необходимо решить. Например, в варианте № 5 из задания 1 следует решить № 7, из задания 2 - № 24, из задания 3 - № 8, из задания 4 - № 15, из задания 5 - № 3, из задания 6 - №13, из задания 7 - № 9, из задания 8 - № 13 и т. д.
Расчетно-графическая работа (РГР) выполняется студентом самостоятельно в течение семестра под руководством преподавателя. Приступать к решению задач следует после того как проработан теоретический материал и освоены алгоритмы решения задач по соответствующей теме. При этом рекомендуется использовать материалы лекционных и семинарских занятий, литературу, указанную на стр. 22 и консультации преподавателя. Работа выполняется в отдельной тетради с указанием как номера задания так и номера задачи. Решения заданий приводятся в порядке соответствующем их порядковым номерам, должны содержать все необходимые пояснения и завершаться ответом.
Образец выполнения задания
Задание 5 №7.
Выделить вещественную
и мнимую часть функции 
и
проверить условия Коши Римана.
Решение: 
Ответ: 
.
Условия Коши-Римана не выполнены.
Задания по теме «Ряды Фурье» (§ 6) желательно проверить с помощью пакета прикладных программ и распечатку вложить в РГР. Приводим три наиболее популярных пакета и соответствующие адреса серверов:
Maple http://www.maplesoft.com;
MathCad http://www.mathsoft.com;
MathLab http://www.mathworks.com;
http://www.softline.ru
В конце семестра студент сдает выполненную РГР и защищает ее в установленные преподавателем сроки. Выполнение РГР оценивается в баллах в соответствии с рейтинговой системой, утвержденной в РГСУ. При этом каждая верно решенная задача оценивается в 1 балл. Задача считается решенной, если приведено решение, в котором безошибочно выполнены все преобразования и даны необходимые пояснения, записан правильный ответ. Максимальное число баллов, которое может быть выставлено за выполнение РГР составляет 20 баллов. Работа, оцененная менее чем в 12 баллов, считается не выполненной. Студент, не сдавший РГР, не допускается к экзамену (зачету) по ТФКП и ФА
Теория функций комплексного переменного §1. Действия с комплексными числами
Мнимой единицей
называется величина, которая удовлетворяет
равенству
.
Символически обозначают
.
Из этого определения следует, что
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Комплексным числом
называют выражение вида
,
в котором
и
- вещественные числа, называемые
соответственно действительной и мнимой
частями комплексного числа z
.
Комплексное число
определяется упорядоченной парой
вещественных чисел
и поэтому изображается в прямоугольной
системе координат точкой
или ее радиус-вектором
.
Два комплексных
числа
и
называются
равными, если
.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, определяются следующим образом:
Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень комплексных чисел можно выполнять по правилам этих действий с многочленами.
Числа
и
называются сопряженными.
Чтобы разделить одно комплексное число на второе, можно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
Формула Эйлера:
Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.
1.
2.
3.
- формула Муавра
4.
ЗАДАНИЕ 1
Вычислить
,
если:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 2
Найти все значения корня.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 3
Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
