Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.
Найдем на отрезке [0,3] приближенное
решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
и построим график найденного решения.
Сведем решение задачи для
уравнения второго порядка к задаче для
эквивалентной нормальной системы
второго порядка. Обозначим
и
.
Поскольку
,
то получим
Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен на рисунке 2.
Рисунок 2
Примечание. Определите вектор y и вектор-функцию D(x,y) как матрицы размерности 2´1. Присвойте компонентам вектора y начальные значения, а компонентам вектора D(x,y) – выражения для правых частей уравнений системы. В остальном действуйте так же, как в предыдущем примере.
Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение задачи Коши
и построим графики для найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 30 равноотстоящих узлов (рисунок 3).
Рисунок 3
Примечание. Для того,
чтобы построить графики найденного
решения (графики функций
),
введите в качестве переменной на оси
абсцисс Y<1> (cтолбец
координат узлов сетки), а на оси ординат
введите, разделяя запятой, Y<2>,
Y<3>, Y<4>
(столбцы, содержащие соответственно
значения
в узлах сетки).
Задание 4.
Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка, соответствующее вашему варианту.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка
,
описывает движение груза массы m, подвешенного к концу пружины. Здесь x(t) – смещение груза от положения равновесия, H – константа, характеризующая силу сопротивления среды, k –коэффициент упругости пружины, f(t) – внешняя сила. Начальные условия: – смещение груза в начальный момент времени t=0, – скорость груза в начальный момент времени. Промоделировать движение груза на временном отрезке [0,T ] при заданных в индивидуальном варианте трех наборах (I, II, III) значений параметров задачи.
№ бригады |
|
H |
k |
m |
f(t) |
x0 |
v0 |
T |
|||
|
|
I II III |
0.5 -“- -“- |
1 -“- -“- |
1 -“- -“- |
0
|
10 0 -10 |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
1 -“- -“- |
0.5 -“- -“- |
tsin(t) 0 tsin(t) |
0 -“- -“- |
0 -10 -50 |
20 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
5 -“- -“- |
0.75 -“- -“- |
0 -“- -“- |
-10 0 -10 |
0 10 10 |
5 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
1 -“- -“- |
1 3 6 |
cos(t) -“- -“- |
0 -“- -“- |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
0.5 -“- -“- |
5 50 0.5 |
1 -“- -“- |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
0 -“- -“- |
15 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
5 0.5 50 |
1 -“- -“- |
0 -“- -“- |
0 -“- -“- |
1 -“- -“- |
15 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 0.1 10 |
1 -“- -“- |
5 -“- -“- |
-t -“- -“- |
15 -“- -“- |
0 -“- -“- |
40 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
1 -“- -“- |
0.5 5 50 |
sin(t) -“- -“- |
0 -“- -“- |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
1 -“- -“- |
1 -“- -“- |
1 3 6 |
cos(t) -“- -“- |
0 -“- -“- |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
|||
|
|
I II III |
0.5 -“- -“- |
5 50 0.5 |
1 -“- -“- |
0 -“- -“- |
20 -“- -“- |
0 -“- -“- |
15 -“- -“- |
|||