Лабораторная работа № 22. Методы решения дифференциальных уравнений и систем.

Цель занятия – изучение возможностей решения различных типов дифференциальных уравнений и их систем в системе MathCAD2000.

Теория.

Система MathCad позволяет решать линейные, нелиненые уравнения и системы уравнений как аналитически, так и численно и графически.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение , которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее производные

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система уравнений которая связывает независимую переменную x, искомые функции и их производные.

Все функции MathCad предназначены для численного решения задачи Коши нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнений сводится к решению задачи для системы. 

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений yi,1, yi,2,…, yi,n, i=1,2,…,N, решения y1(x), y2(x),…, yn(x) на отрезке [ x0, xN] в точках x0,x1,…,xN, которые называются узлами сетки.

Обозначив

Y(x)=(y1(x),y2(x),…,yn(x)),

Y0=(y0,0;y0,1;…;y0,n),

Y’=(y’1(x),y’2(x),…,’yn(x)),

F(x,Y)=(f1(x,y1,…,yn), f2(x,y1,…,yn),…, fn(x,y1,…,yn)),

где Y- искомое решение; YO – вектор начальных условий; F(x,Y) – вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

Y’=F(x,Y), Y(x0)=Y0.

В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью, например, следующих функций: rkfixed(y,x1,x2,npoints,D) – решение задачи на отрезке методом Рунге-Кутта с постоянным шагом.

Задание 1.

1. Откройте документ Mathcad.

2. Сохраните документ в своей папке под именем Лр_22.

3. В начале документа введите тему лабораторной работы.

4. На строку ниже запишите номер своей бригады и свои фамилии с инициалами.

5. Ниже введите цель занятия.

Численное решение дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Пусть задано дифференциальное уравнение

при начальном условии .

Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции

rkfixed(y,x1,x2,n,D),

которая использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Здесь

y - вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента.

x1,x2 - границы интервала для поиска решения.

n - количество точек на интервале.

D(x,y) - вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Решение уравнения ищем на интервале (1,5).

Решение уравнения в MathCad:

1. Задается начальное условие

2. Записывается правая часть уравнения как функция от х и начального условия g

3. Находится численное решение по функции rkfixed. В данном примере ищем решение в интервале от 1 до 5 в 40 точках внутри интервала.

В итоге полная запись решения выше приведенного уравнения имеет вид:

М атрица Z имеет 2 столбца и 40 строк – первый столбец содержит переменную х , второй – искомую функцию y.

Построим график численного решения.

Задание 2.

1. Решите дифференциальное уравнение 1-го порядка, соответствующее вашему варианту.

№ бригады	Начальное значение	Интервал	Число точек	Уравнение
	0	0;3	25
	0,5	1;3	30
	0	-1;5	40
	1	1;4	35
	0,7	0,8;3,5	45
	0	0,2;3,7	15
	1,2	1,5;3,1	22
	0	0,4;4,7	27
	2	2;8	32
	1,4	1;6	41