Численное решение уравнений с одним неизвестным.

Многие нелинейные уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений и решаются графическими или численными методами.

Функция root(выражение, имя переменной) ищет значение переменной, при которой выражение становится равным нулю. Поиск корня осуществляется итерационными методами, причем перед этим надо задать начальное значение х.

Например, необходимо найти корень трансцендентного уравнения .

Зададим начальное значение , решение дается функцией .

Отметим ещё, что при выводе результата отображается только 3 значащих цифры после десятичной точки. Эту установку можно изменить в меню Format\Number в пункте Displayed Precision.

Или например, найдем сначала графическое решение уравнения, а затем воспользуемся функцией root.

Для задания начального значения, чтобы избежать тривиальных ошибок, можно построить график исследуемой функции. Задайте в рабочем документе функцию F(x) и постройте ее график в декартовых координатах. Чтобы найти графически корни уравнения – абсциссы точек пересечения графика функции с осью ординат, щелкните по полю графика правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню выберите пункт Трассировка и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х при равенстве координаты y нулю или малой величине и есть искомое приближенное значение корня.

Рис. 5.

Задание 4.

1. Найдите графическое решение уравнения, соответствующего вашему варианту.

2. Решите уравнение, соответствующее вашему варианту, с помощью функции root.

№ бригады	Уравнение	a	b	c
1
2
3		x > 0
4
5		x > 1
6 7		0.33 1.5	2.7 2.25	-1.05 1.25
8		x < 0
9		x > 0
10		x > 0

Решение нелинейных уравнений и их систем.

Если необходимо найти решения уравнения с несколькими переменными или системы уравнений, задается блок уравнений. Он имеет следующую структуру:

- Given – служебное слово, отмечающее начало блока;

- уравнения;

- ограничительные условия;

- выражения с функциями Find и Minerr;

- проверка решения (если необходима).

В данном случае используются следующие функции:

а) Find(х₁,х₂,…,х_n) – возвращает значение одной переменной или значения вектора переменных Х, отвечающее точному решению.

б) Minerr(х₁,х₂,…,х_n) – возвращает значение одной переменной или значения вектора переменных Х, отвечающее приближенному решению с минимальной среднеквадратической погрешностью.

Ограничительные условия служат для ограничения области решения с помощью функции Find или минимизации среднеквадратической погрешности с помощью функции Minerr. Они задаются следующими конструкциями: > (больше), < (меньше), ³ (больше или равно), £ (меньше или равно).

Внимание! В блоке решения системы уравний необходимо вводить знак равно с помощью комбинации Ctrl + = или с помощью кнопки = палитры Булево.

Наиболее часто поиск корней систем нелинейных уравнений осуществляется при помощи блока Given .........Find(...). Например, необходимо решить систему уравнений

Тогда в MathCad система решается следующим образом:

Здесь могут решаться уже системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки, от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.

Пример: Решение системы уравнений .

Таким же образом можно решать и системы линейных уравнений, однако приходится задавать начальную итерацию, потому системы линейных уравнений лучше решать матричным методом.

Аналогично решаются и более сложные уравнения или их системы.

Задание 5.

1. Найдите решение системы уравнений (графически и численно), соответствующей вашему варианту.

№ бригады	Система уравнений	a	b	c	d	f
1		1.0	7.5
2		0.16	2.1	1.0
3		1.0	1.5	2.0
4		x > 0
5		x > 0
6		x > 0
7		y > 0
8		x > 0
9		3.2	1.5	-3.0	0.125	-0.4
10		2.0	11.1	2.0	-0.1	1