2.2.4 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины

Пусть на основании выборочных данных (x₁, x₂, …, x_n), полученных при исследовании нормально распределенной случайной величины ξ, вычислены точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения этой случайной величины:

………………………….. ………………………………….

Ставится задача определения на основании имеющихся опытных данных интервальных оценок параметров и изучаемой величины.

Построение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону, основано на том факте, что …………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Это дает возможность для заданного значения доверительной вероятности ……………. и числа степеней свободы …. определить такие значения …. и …., что

…………………………………. (2.2)

В геометрической интерпретации эта вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной кривой

t-распределения и осью абсцисс, заключенной между значениями …. и …. (см. рисунок).

Значения t₁ и t₂ определяются по таблице квантилей распределения Стьюдента: …………………………………………………

Преобразуем соотношение (2.2):

………………………………..……………………….………….. отсюда

…………………………………………………………………….. (2.3)

……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….

Замечание 1 – Как известно, при больших значениях  = n – 1 (уже при  > 30) распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению. В этом случае, при построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания вместо распределения Стьюдента можно приближенно использовать стандартизованное нормальное распределение. Соответствующий доверительный интервал будет иметь вид , где  – квантиль стандартизованного нормального распределения. Для наиболее часто используемых значений доверительной вероятности Р = 1 –  значения приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Значения квантилей стандартизованного

нормального распределения

Доверительная вероятность Р = 1 – 	Значение 	Значение квантиля
0,9	0,1	1,645
0,95	0,05	1,96
0,99	0,01	2,58
0,999	0,001	3,28

Построение доверительного интервала для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины ………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Это позволяет определить такие значения ..… и….., для которых выполняется соотношение

…………………………………… (2.4) где ……………………………………………………………………………….

Поскольку распределение 2 не симметрично, для определения значений и обычно используются дополнительные условия: …………………….…., ………………………… На рисунке штриховкой выделены фигуры, площади которых равны указанным вероятностям.

Полагая значения ……………… и …………….. известными, преобразуем формулу (2.4): ……………………………………………… Отсюда:

……………………………………………………… (2.5)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Значения …... и …... определяются по таблице квантилей распределения ² .

Замечание 2 – Если случайная величина X имеет произвольный закон распределения вероятностей, то при достаточно большом объеме выборки соотношения (2.3) и (2.5) можно использовать для построения приближенных доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения этой случайной величины.

* Частотой m_i значения называется число повторений этого значения в выборке, а относительной частотой (частостью) – отношение частоты к объёму выборки m_i/n.

13