2.2.2 Точечные оценки числовых характеристик

В этом подразделе приведены расчетные формулы для вычисления точечных оценок числовых характеристик и некоторые свойства этих оценок.

В качестве оценки математического ожидания используется ………………………………………………………………………………………

Эта статистика называется ………………………………………………

……………………………………….

Доказано, что является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания исследуемой случайной величины. Если случайная величина ξ распределена по нормальному закону, то является и эффективной оценкой математического ожидания.

Для оценивания по выборочным данным моды распределения используется то значение сгруппированного статистического ряда ……….., которому соответствует наибольшее значение частоты. По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число выборочных значений, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

Для определения выборочного значения медианы ……..… используется вариационный ряд. В качестве оценки медианы принимают …………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

В качестве оценки дисперсии используют статистику

…………………………………..

и соответствующую оценку среднего квадратического отклонения

………………………………………….

Указанные статистики являются состоятельными и несмещенными оценками дисперсии и среднего квадратического отклонения, соответственно.

В качестве оценок коэффициентов асимметрии и эксцесса используются следующие выборочные статистики:

…………………………………………………….

…………………………………………………………….

2.2.3 Понятие об интервальном оценивании

Заменяя при проведении статистического исследования неизвестное значение параметра ….. его точечной оценкой ….., мы всегда совершаем некоторую ошибку. Большое практическое значение имеет информация о величине этой ошибки. Другими словами, возникает вопрос об определении точности оценки …., то есть о таком значении ………………………………..

Поскольку в нашем распоряжении имеются лишь выборочные данные, то можно определить только вероятность …. осуществления этого неравенства, которая называется………………………………………………………………..:

……………………………… (2.1)

Соотношение (2.1) может быть записано следующим образом:

………………………………….

Это означает, что ……………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Значение доверительной вероятности выбирается исходя из целей исследования и ответственности при принятии решения в конкретной задаче. Обычно доверительная вероятность … принимается равной ……………..……, иногда – ……..….

В литературе часто используется еще одно обозначение доверительной вероятности ………….., где….. - некоторое малое число (например, …………… или ……………), задающее вероятность того, что оцениваемый параметр окажется за пределами доверительного интервала.

Подчеркнем еще раз, что границы доверительного интервала являются случайными величинами (так как они определяются на основании выборочных данных). Именно поэтому мы можем говорить только о вероятности накрыть доверительным интервалом некоторую (неслучайную!) точку . Ширина доверительного интервала существенно зависит от ………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

В общем случае, задача построения доверительных интервалов является сложной математической задачей, допускающей сравнительно простое аналитическое решение лишь для некоторых частных случаев, подобных рассмотренным ниже.