Арифметические действия в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления

Исключительная роль десятка восходит к истокам цивилизации и без всякого сомнения связана со счетом по пальцам на двух руках. Но наименование в числительных в разных языках указывает и на наличие – в былые времена – иных систем счисления, а именно: с основаниями двадцать и двенадцать. В английском и немецком языках слова, обозначающие 11 и 12, построены не по десятичному принципу, сочетающему десятки с единицами: они лингвистически независимы от слов, обозначающих число 10. Во французском языке слова, обозначающие 20 или 80, позволяют предполагать о первоначальном существовании системы с основанием 20, используемой для тех или иных надобностей. В датском языке слово halvfirsindstyve, обозначающее 70, буквально переводится «полпути от трижды двадцать до четырежды двадцать». Вавилонские астрономы пользовались системой частично секзагезимальной структуры (с основанием 60), и предполагается, что именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой радиус разделены на 60 минут.

Как правило, люди считают в десятичной системе, где для изображения чисел используются 10 цифр: 0, 1, …, 9. Основой других систем счисления являются иные символы, число которых может быть меньше или больше 10. Рассмотрим две такие системы, в одной из которых (двоичной) для представления чисел используются два символа (две двоичные цифры) 0 и 1, а в другой (шестнадцатеричной) — 16 символов. Прежде чем приступить к рассмотрению этих систем, опишем правила, по которым происходит процесс счета в десятичной системе.

В десятичной системе при изображении чисел, больших девяти, различные символы (т. е. цифры 0, 1, …, 9) располагаются друг за другом, например 365. Комбинации этих символов могут быть получены сложением 1 и 0 с последующим добавлением 1 к каждой получаемой сумме: 1 + 0 = 1, 1+ 1 = 2, 1 + 2 = 3 и т. д. Поскольку при операции сложения 1 + 9 сумму невозможно изобразить одним символом, поэтому слева от цифры девять, к которой прибавляется 1, ставится 1, а саму цифру девять заменяют цифрой 0, иначе говоря, осуществляют перенос в старший разряд. После этого можно продолжать операцию добавления 1 к сумме. Описанный процесс, называемый счетом, позволяет получить все комбинации цифр, используемых для изображения чисел в десятичной системе.

• Заметим, что при счете в десятичной системе особое внимание следует обращать на выполнение переноса и замену наибольшей цифры наименьшей.

Рассмотрим теперь, как происходит счет в двоичной системе счисления. Напомним, что в этой системе для изображения чисел используются только два символа: 0 и 1. Начнем счет также, как и в десятичной системе, складывая 1 и 0. Естественно, что 1 + 0 = 1. Добавим к полученной сумме 1. Поскольку сумму в двоичной системе невозможно представить одной цифрой, как и раньше, выполним перенос: припишем слева к первой сумме 1, а ее значение заменим на 0.

• Заметим, что операция переноса выполняется также, как при счете в десятичной системе с той лишь разницей, что в двоичной системе используются только два символа (две двоичные цифры).

Процесс счета в десятичной и двоичной системах счисления показан в табл. 2, из которой следует, что десятичное число 7 эквивалентно двоичному числу (0111).

Нетрудно также установить, что в обеих системах процесс счета можно продолжать бесконечно, при этом каждому десятичному числу будет соответствовать некоторое двоичное число.

Таблица 2

Счет в двоичной и десятичной системах счисления

Двоичная система 0000 + 1 -------- 0001 + 1 -------- 0010 + 1 -------- 0011 + 1 -------- 0100 + 1 -------- 0101 + 1 -------- 0110 + 1 -------- 0111 + 1 -------- 1000 + 1 -------- 1001 + 1 -------- 1010 + 1 -------- 1011 + 1 -------- 1100

Десятичная система 0000 + 1 ------ 0001 + 1 ------ 0002 + 1 ------ 0003 + 1 ------ 0004 + 1 ------ 0005 + 1 ------ 0006 + 1 ------ 0007 + 1 ------ 0008 + 1 ------ 0009 + 1 ------ 0010 + 1 ------ 0011 + 1 ------ 0012

Обратимся теперь к шестнадцатеричной системе счисления. В этой системе используются 16 символов: цифры от 0 до 9 и буквы от А до F. Поэтому шестнадцатеричное число может иметь вид 03FA. Чтобы определить шестнадцатеричные числа, можно вновь повторить процесс счета подобному тому, как это делалось в случае десятичной и двоичной систем.

В табл. 3 изображены числа, получаемые при счете в каждой из трех систем счисления. Из нее следует, что числа 15, F и 1111 эквивалентны, как эквивалентны числа 12, С и 1100.

Заметим, что одной и той же комбинацией цифр можно изобразить числа из различных систем счисления. Например, число 110 может принадлежать двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системам. Во избежание путаницы двоичные числа помечают буквой В (например, 00101000В), шестнадцатеричные – буквой Н (например, (043А) Н). Иногда в документации или в таблицах появляются числа без буквенных указателей, несмотря на то, что они являются двоичными или шестнадцатеричными. В подобных ситуациях их принадлежность той или иной системе счисления определяется из контекста.

Таблица 3

Система счисления
Двоичная	Десятичная	Шестнадцате- ричная	Двоичная	Десятичная	Шестнадцате- ричная
0000	0000	00	1000	0008	08
0001	0001	01	1001	0009	09
0010	0002	02	1010	0010	0A
0011	0003	03	1011	0011	0B
0100	0004	04	1100	0012	0C
0101	0005	05	1101	0013	0D
0110	0006	06	1110	0014	0E
0111	0007	07	1111	0015	0F