Позиционные системы счисления Изображение целых значений в позиционных системах счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы

Введем для общности понятие об изображении целых числовых значений в системе счисления с основанием р, где р — целое число, р ≥ 2. Цифрами в системе счисления с основанием р называют р символов, обозначающих все целые значения от 0 до р – 1.

В десятичной системе счисления (р = 10) такими символами являются

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В двоичной системе счисления (р = 2) в качестве цифр употребляются символы 0 и 1.

В шестнадцатеричной или hex-системе счисления в качестве цифр используются символы

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Изображение целого числового значения N в виде строки

c c … c (n ≥ 0) (1)

в р-ичной системе счисления (c — цифры этой системы счисления) значение N определяют формулой: N = c p + c p + … + c p . (2)

Из формулы (2) следует, в частности, что p в р-ичной системе счисления изображается последовательностью k+1 символов, из которых первый — 1, а остальные k — нули, например:

10 = (1000) ; 16 = (10) ; 16 = (100) ;

2 = (10) ; 2 = (10000) и т. п.

Индексом справа внизу обозначено основание системы счисления, в которой представлено число в скобках.

С помощью формулы (2), зная изображение (1) в р-ичной системе счисления, можно получить изображение значения N в q-ичной системе счисления. Для этого нужно изобразить c и р в q-ичной системе счисления и выполнить действия, предписанные формулой (2) по правилам «q-ичной арифметики».

Если q = 10, то эти действия — перевод изображения из р-ичной системы счисления в его изображение в десятичной системе — выполняются с помощью привычной нам десятичной арифметики. Рассмотрим примеры.

Пусть р = 2 и задано изображение некоторого значения в двоичной системе счисления :

1111011 (3)

Тогда в соответствии с формулой (2) десятичное изображение этого значения определяется выполнением действий:

1 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 2 . (4)

Вычислив выражение (4), получим десятичное изображение значения, представленного в двоичной системе в виде (3): 123, т. е.:

(1111011) = (123) .

Пусть теперь р = 16 и задано изображение некоторого значения в шестнадцатеричной системе счисления AF01.

Для получения десятичного изображения этого значения подставим в формулу (2) десятичные представления шестнадцати шестнадцатеричных цифр и показателей степеней 10 ∙16 + 15 ∙16 + 0 ∙ 16 + 1 ∙ 16 = 44801,т. е.:

(AF01) = (44801) .

Для перевода десятичного (р = 10) изображения значения в его изображение в какой-нибудь «чужой» системе счисления (например, q = 16) следовало бы, пользуясь формулой (2), подставлять в нее шестнадцатеричные изображения степеней десяти и проводить умножение и сложение в шестнадцатеричной системе. Однако человеку действовать по правилам шестнадцатеричной системы неудобно. Поэтому для перевода вручную изображений числовых значений из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную используется другой прием.

Пусть известно десятичное изображение N. Из формулы (2) следует: значение младшей шестнадцатеричной цифры с является остатком от деления N на 16, а частное этого деления N = с + с 16 + … с 16 . Таким образом, с , с , с и т. д. будут являться остатками от деления N, N , N , … и т. д. на 16. Деление продолжается до тех пор, пока очередное частное не окажется равным нулю.

Например, получение десятичного значения N = 44801 в шестнадцатеричной системе счисления выполняется так:

44801|16

о статок: 1|2800| 16

остаток: 0 ׀ 175|16

остаток: 15 | 10 | 16

остаток: 10 | 0

Таким образом, значения шестнадцатеричных цифр равны соответственно значениям остатков 1, 0, 15, 10 (в десятичном представлении). Заменяя эти значения их шестнадцатеричным изображением, получим:

(44801) = (AF01) .

Можно доказать следующее простое правило перехода от двоичного изображения числового значения к его шестнадцатеричному изображению и обратно. Для этого достаточно (дополнив, если надо, двоичное изображение незначащими нулями слева) заменить каждую четверку двоичных цифр (тетраду) шестнадцатеричной цифрой, изображающей значение этого четырехразрядного двоичного числа (табл. 1).

Таблица 1