Системы счисления
Системой счисления называется представление чисел с помощью комбинации знаков. Количество этих знаков образуют основание системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если значение знака изменяется в зависимости от его места в числе.
Система счисления называется не позиционной, если значение знака не зависит от его места в числе.
Например, в десятичной системе счисления в числе 118, значение знака «единица» разное. В римской системе счисления это число представляется в виде: CXVIII, здесь знак «единица» имеет одно и то же значение, поэтому десятичная система счисления является позиционной, а римская система счисления не является позиционной. В дальнейшем будем рассматривать только позиционные системы счисления.
В десятичной системе счисления для изображения числа используются следующие десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа большей величины, как, например, триста семьдесят два, представляются в виде:
300 + 70 + 2 = 3 10
+ 7 10 + 2
и в десятичной системе записываются 372. Существенно в данном случае то, что смысл каждой из цифр — 3, 7, 2 — зависит от ее положения — от того, стоит ли она на месте единиц, десятков или сотен. Общее правило такого изображения дается схемой, которая иллюстрируется примером:
z = a
10
+ b
10
+
c
10 + d,
где, a, b, c, d —– целые числа в пределах от нуля до девяти. Число z в этом случае сокращенно обозначается символом
a b c d.
Заметим, между прочим, что коэффициенты d, c, b, а являются не чем иным, как остатками при последовательном делении числа z на 10.
Т
ак,
например,
372 10
2 37 10
7 3 10
3 0 .
С помощью написанного выше выражения для числа z можно изображать только те числа, которые меньше десяти тысяч, так как числа, большие, чем десять тысяч, требуют пяти или большего числа цифр. Если z есть число, заключенное между десятью тысячами и ста тысячами, то можно представлять его в виде:
z = a
10
+ b
10
+ c
10
+ d
10 + e
и тогда записать символически abcde.
Подобное же утверждение справедливо
относительно чисел, заключенных между
ста тысячами и одним миллионом и т. д.
Чрезвычайно важно располагать способом,
позволяющим получить результат
посредством одной единственной формулы.
Этой цели можно добиться, если обозначить
различные коэффициенты e,
d, c
… одной и той же буквой a
с различными значками (индексами) а
,
а
,
а
,…,
а степени числа 10 выразим как 10
,
понимая под n произвольное
натуральное число. В таком случае любое
целое число z в
десятичной системе может быть представлено
в виде:
z = a
10
+ a
10
+ … + a
10 + a
и записано посредством символа
a
a
a
…
a
a
.
Как и в частном, рассмотренном выше, мы обнаруживаем, что a , a , a ,…, a являются остатками при последовательном делении z на 10.
В десятичной системе число десять играет особую роль как «основание» системы. Тот, кому приходится встречаться лишь с практическими вычислениями, может не отдавать себе отчет в том, что такое выделение числа десять не является существенным и что роль основания способно было бы играть любое целое число, большее единицы. Например, была бы вполне возможна семеричная (септимальная) система с основанием семь. В такой системе целое число представлялось бы в виде:
b 7 + b 7 + … + b 7 + b ,
где b – коэффициенты, обозначающие числа в пределах от нуля до шести. Тогда такое целое число записывалось бы посредством символа b b … b b .
Так, число «сто девять» в семеричной системе обозначалось бы символом 214, потому что
109 = 2 7 + 1 7 + 4.
В качестве упражнения можно вывести общее правило для перехода от основания 10 к любому основанию р: нужно выполнять последовательное деление на р, начиная с данного числа z; остатки и будут «цифрами» при записи числа в системе с основанием р. Например,
109 7
4 15 7
3 2 7
1 2 0 .
109 (в десятичной системе) = 214 (в семеричной системе).