9 Однофакторный дисперсионный анализ
9.1. Цель занятия
Практическое освоение основных идей дисперсионного анализа на примере однофакторного дисперсионного анализа.
9.2. Создание электронной таблицы с данными для статистического анализа (рис.9.1) ничем не отличается от создания таблиц для регрессионного или корреляционного анализов. Разница лишь в том, что в случае дисперсионного анализа в колонке фактора, влияние которого на выходную переменную изучается, можно откладывать как численные значения этого фактора, так и качественные, неколичественные значения. Например, день недели, тип прибора, исполнитель. В последнем случае каждому неколичественному признаку присваивается код, например, понедельник − кодируется как единица, вторник − как двойка и так далее. Так и сделано в примере 9.1 [2], где садки закодированы порядковыми номерами.
Рис. 9.1. Фрагмент таблицы с исходными данными
Для дисперсионного анализа
9.3. Статистический анализ.
Последовательно щёлкаем левой кнопкой мыши по Compare (Сравнение) / Analysis of Variance (Анализ дисперсий) / One-Way ANOVA (Однофакторный дисперсионный анализ) / OK.
В выпадающей таблице One-Way ANOVA (рис.9.2) отмечаем зависимую переменную − овальность (Dependent Variable) и фактор (Factor) − садка. Далее нажимаем кнопку OK.
Появляются два графика и две таблицы. В данном случае интерес представляет нижняя левая таблица, на поле которой устанавливаем курсор и левой кнопкой мыши щёлкаем два раза. Открывается таблица (рис.9.3) с результатами однофакторного дисперсионного анализа. Она по форме несколько отличается от таблицы 9.4 [2], но по существу это та же таблица с готовым значением эм-
Рис. 9.2. Таблица One-Way ANOVA, подготовленная для выбора
Данных для последующего дисперсионного анализа
пирического значения критерия проверки Fэмп (F-Ratio = 11,71) и доверительной вероятностью (P-Value), которая показывает, что нулевая гипотеза о равенстве дисперсий не может быть принята (P-Value = 0,0000).
Рис. 9.3. Таблица с результатами однофакторного дисперсионного
Анализа
Большой интерес представляют комментарии консультанта по статистике (Stat Advisor). Если набраться терпения и их перевести, то это готовое заключение в отчёт о результатах дисперсионного анализа. Кстати, такие комментарии сопровождают в системе STATGRAPHICS Plus for Windows все выше и ниже приведенные таблицы с результатами статистического анализа. (Здесь комментарии не приводятся).
Всегда обращайте внимание на надписи в самом низу (рис.9.3), которые сопровождают таблицы с результатами статистического анализа: Use the right mouse button to select options (Используйте правую кнопку мыши, чтобы выбрать дополнительные опции). Правда в данном случае ничего путного система предложить не может. Тогда воспользуемся второй слева иконкой во втором ряду (рис.9.3) и на выпадающем меню Tabular Options (Таблица опций) отметим Multiple Range Tests (Множественный ранговый тест) и нажмём ОК (рис.9.4).
Рис. 9.4. Таблица с результатами множественного рангового тестирования
Фактически представленная на рис.9.4 процедура аналогична оценке значимости различия средних по садкам, описанная в работе 9 [2] с помощью рангового критерия Дункана. На фрагменте таблицы One-Way ANOVA – Овальность by Садка (рис.9.4) в колонке Difference третье сверху значение отмечено звёздочкой, что является указанием на значимость разницы между средними первой и четвёртой садок. Таблицу можно продолжить. Здесь также большой интерес представляет мнение Stat Advisor о результатах сравнения средних между садками, которое располагается ниже таблицы.
Примечание: Следует обратить внимание на тот факт, что значения некоторых величин, полученные в [1] при «ручном» счёте, не совпадают с результатами статистического анализа, выполненного в системе STATGRAPHICS Plus for Windows. Особенно это заметно в четвёртых или пятых цифрах после запятой. Это следствие того, что использовалась разная вычислительная техника и лишний довод в пользу отбрасывания незначащих цифр при записи окончательного результата. Даже современная вычислительная техника вносит погрешности в результаты вычислений! Но на стадии промежуточных вычислений округлений делать не следует, что ПК отлично «знает».
ПРИЛОЖЕНИЕ
Алфавитный указатель некоторых терминов на английском языке,
используемых в STATGRAPHICS Plus for Windows, и их перевод.
Термин |
Русский перевод |
Acceptance Chart |
Приёмочная карта |
Acceptance Individuals Chart |
Карта индивидуального приёмочного контроля |
Acceptance Sampling |
Статистический приёмочный контроль |
Analysis of Variance |
Дисперсионный анализ |
Analyze Design |
Планирование эксперимента |
ANOVA (ANalysis Of VАriance) Method |
Дисперсионный анализ |
ARIMA |
Процедура авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего |
Arrange Icons |
Размещение (упорядочение) пиктограмм (графических символов опций) |
Arrhenius Plots |
Графики Аррениуса |
Attributes |
Свойства, характеристики, определяющий признак; альтернативные данные |
Attributes Control Charts - p-Chart |
Свойства приёмочных контрольных карт – p – карта |
Attributes Control Charts - np-Chart |
Свойства приёмочных контрольных карт – np – карта |
Attributes Control Charts - u-Chart |
Свойства приёмочных контрольных карт – u – карта |
Attributes Control Charts - c-Chart |
Свойства приёмочных контрольных карт – c – карта |
Augment Design |
Расширенный план эксперимента |
Automatic Forecasting |
Автоматическое предсказание |
Average |
Выборочное среднее |
Average and Range Method |
Метод средних и размахов |
Barchart |
Гистограмма |
Between groups |
Между группами |
Box-and-Whisker Plot |
График с доверительными границами погрешностей в виде «ящика» и «усов» |
Box-Cox Transformations |
Преобразование Бокса - Кокса |
Business Charts |
Бизнес – карта |
Calibration Models |
Проверка моделей |
Canonical Correlations |
Канонический корреляционный анализ |
Capability Assessement (Individuals) |
Оценка качества по индивидуальным данным |
Capability Assessement (Grouped Data) |
Оценка качества по сгруппированным данным |
Cascade |
Способ представления графиков в виде каскада |
Categorical Data |
Классифицированные данные |
Change Analysis Title |
Изменить заголовок анализа |
Change Data Source |
Изменить источник данных |
Change Text Font |
Изменить гарнитуру шрифта |
Claster Analysis |
Кластерный анализ |
Close |
Закрыть |
Close StatFolio |
Закрыть StatFolio |
Close Data File |
Закрыть файл с данными |
Close StatGallery |
Закрыть StatGallery |
Close StatReporter |
Закрыть StatReporter |
Column (Col) |
Колонка, столбец |
Coeff. (Coefficent) of variation |
Коэффициент вариации |
Combine |
Сочетать |
Compare |
Сравнить |
Comparison of Proportion |
Сопоставление пропорций |
Comparison of Rates |
Сравнение оценок |
Comparison of Regression Lines |
Сравнение линий регрессии |
Component Line Chart |
Компоненты линий контрольных карт |
Contingency Tables |
факторные таблицы |
Copy |
Копировать |
Copy Analysis |
Копирование результатов анализа |
Correlation Coefficient |
Коэффициент корреляции |
Count |
Счёт, объём выборки |
Create Design |
Создание планов эксперимента |
Crosstabulation |
Кросстабуляция |
Curve Fitting |
Подгонка, сглаживание кривой |
Custom Charts |
Карты пользователя |
CuSum Chart (H-K)-Cumulative Sum control chart (CuSum) |
Контрольная карта кумулятивных сумм (H-K) |
CuSum Chart (V-Mask) |
Контрольная карта кумулятивных сумм (V-шаблон) |
CuSum Individuals Chart (V-Mask) |
Контрольная карта кумулятивных сумм индивидуальных значений (V-шаблон) |
CuSum Individuals Chart (H-K) |
Контрольная карта кумулятивных сумм индивидуальных значений (H-K) |
Cut |
Вырезать |
Data Setup |
Процедура начальной установки данных |
Delete |
Удалить |
Describe |
Описывать (описательная статистика) |
Df |
Число степеней свободы |
Discriminant Analysis |
Дискриминантный анализ |
Descriptive Methods |
Анализ временных рядов с помощью автокорреляционной функции |
Display Status |
Состояние (вид) дисплея |
Distributions |
Функции распределений |
Distributions Fitting (Uncensored Data) |
Подбор подходящей функции распределения для нецензурированной выборки |
Distributions Fitting (Censored Data) |
Подбор подходящей функции распределения для цензурированной выборки |
Dot Diagram |
Точечная диаграмма |
Durbin-Watson statistic |
Статистика Durbin-Watson, тестирующая поведение остатков |
Edit |
Редактирование, правка |
Estimate |
Оценка коэффициента регрессии |
Evaluator |
Калькулятор |
Experimental Design |
Планирование эксперимента |
Exploratory Plots |
Исследовательские (пользовательские) графики |
Expression Evaluator |
Калькулятор выражений |
EWMA Chart |
Карта скользящего среднего с экспоненциальными весами |
Factor Analysis |
Факторный анализ |
Factor Means Plot |
График средних факторов |
File |
Файл |
Fishbone Diagram |
Диаграмма «рыбий скелет» |
Forecasting |
Прогнозирование |
F-Ratio |
Частное значение F-критерия |
Frequency Histogram |
Частотная гистограмма |
Gage R@R (Gage repeatability and reproducibility) |
Повторяемость и воспроизводимость измерений |
Gage Linearity and Accuracy |
Проверка линейности и точности |
General Linear Models |
Общие линейные модели |
Generate Data |
Генерирование новых данных путём преобразования имеющихся данных |
Geometric mean |
Среднее геометрическое выборки |
Help |
Справка |
High-Low-Close-Plot |
График стоимости акций |
Hypothesis Tests |
Проверка статистических гипотез |
Insert |
Вставить |
Intercept |
Коэффициент b0 в линейном уравнении регрессии y=b0+b1·x |
Interquartile range |
Межквартельный размах |
Kurtosis |
Выборочное значение куртозиса (островершинности) |
Lag 1 residual autocorrelation |
Лаг автокорреляции остатков |
Linear model |
Линейная модель |
Logistic Regression |
Логистическая регрессия |
Lower quartile |
Нижний квартель |
MAE (mean absolute error) |
Средняя абсолютная ошибка |
MA Individuals Chart |
Карта индивидуальных абсолютных средних |
Matrix Plot |
Матричный график |
Maximum |
Максимальное значение переменной в выборке |
Mean |
Выборочное среднее |
Mean Square |
Средние квадратов |
Median |
Медиана |
Minimum |
Минимальное значение переменной в выборке |
Mode |
Мода |
Model |
Модель |
Modify Column |
Модификация содержимого колонки |
Moving Average Chart |
Карта скользящих средних |
Multifactor ANOVA |
Многофакторный дисперсионный анализ |
Multiple Barchart |
Многорядная гистограмма |
Multiple X-Y Plot |
Многооконный график X-Y |
Multiple X-Y-Z Plot |
Многооконный график X-Y-Z |
Multiple Box-and-Whisker Plot |
Многооконный график в виде «ящика» и «усов» |
Multiple Dot Diagram |
Многорядная точечная диаграмма |
Multiple Plot |
Многорядный график |
Multiple Regression |
Множественная регрессия |
Multiple Response Optimization |
Оптимизация множественных ответов |
Multiple Samples |
Множественные данные |
Multiple Samples Comparison |
Сравнение |
Multiple-Variable Analysis |
анализ многих переменные |
Multivariate Control Charts |
Многомерные контрольные карты |
Nonlinear Regression |
Нелинейная регрессия |
Normal Probability Plot |
Вероятностный график (Представление выборки на вероятностной бумаге) |
Numeric Data |
Численные данные |
One Sample Analysis |
Статистический анализ одной выборки |
One-Variable Analysis |
Статистический анализ результатов прямых измерений |
One-Way ANOVA |
Однофакторный дисперсионный анализ |
Open |
Открыть |
Open StatFolio |
Открыть StatFolio |
Open Data File |
Открыть файл с данными |
Open Design |
Открыть Design |
Open StatGallery |
Открыть StatGallery |
Open StatReporter |
Открыть StatReporter |
Optimize Design |
Оптимизировать план эксперимента |
Outlier Identification |
Выявление выбросов |
P-chart (percent chart) |
Процентная карта |
Paired-Samples Comparison |
Сравнение пары выборок |
Page Setup |
Настройка страницы |
Parameter |
Параметр в уравнении регрессии |
Pareto Analysis |
Анализ Парето |
Paste |
Вставить |
Paste link |
Вставить ссылку |
Piechart |
Круговая диаграмма |
Plot Special |
(построение графиков) |
Poisson Regression |
Пуассоновская регрессия |
Polar Coordinat Plot |
График в полярных координатах |
Polynomial Regression |
Полиномиальная регрессия |
Power Transformations |
Степенные преобразования |
Preferences |
Настройки |
Principial Components |
Метод главных компонент |
Печать |
|
Print Preview |
Предварительный просмотр печати |
Print Setup |
Настройка печати |
Probability Distributions |
Распределения вероятностей |
Probability Plot |
Вероятностный график |
Probit Analysis |
Анализ вероятностей (пробит-анализ) |
Process Capability Analysis |
Анализ воспроизводимости процесса |
P-Value |
Доверительная вероятность |
Quality Control |
Контроль качества |
Query Database |
Запрос к БД |
Radar/Spider Plot |
Диаграмма площадей |
Range |
Размах |
Read Clipboard |
Загрузить из буфера обмена |
Recode Data |
Перекодировать данные |
Refresh Panes |
Обновить экран |
Regression Analysis |
Регрессионный анализ |
Regression Model Selection |
Выбор модели регрессии |
Relate |
Процедуры простого, полиномиального и множественного регрессионного анализа |
Residual |
Остаток (в модели) |
R-squared |
Доля объяснённой корреляции, % |
R-squared (adjusted for d.f.) |
Доля объяснённой корреляции (%) с поправкой на число степеней свободы |
Response Surfaces |
Поверхности отклика |
Ridge Regression |
Метод регуляризации Тихонова |
Row-Wise Statistics |
Статистика по рядам |
Sample-Size Determination |
Определение объёма выборки |
Save (Save as) |
Сохранить (сохранить как) |
Save StatFolio |
Сохранить StatFolio |
Save Data File |
Сохранить файл данных |
Save StatGallery |
Сохранить StatGallery |
Save StatReporter |
Сохранить результаты статистического анализа в StatReporter |
Scatterplots |
Диаграмма рассеяния |
Seasonal Decomposition |
Сезонная декомпозиция |
Simple Regression |
Простая (линейная) регрессия |
Skewness |
Выборочный коэффициент асимметрии |
Slope |
Коэффициент b1 в линейном уравнении регрессии y=b0+b1·x |
Smooting |
Сглаживание |
SnapeStats!! |
SnapeStats!! |
SnapStat Options |
Параметры SnapStat |
Sort File |
Сортировать файл |
Source |
Источник |
Special |
Специальный (специальные опции) |
Special Purpose Control Charts |
Специальные контрольные карты |
Standard deviation |
Среднее квадратическое отклонение (СКО) |
Standard Error |
Погрешность (стандарт) оценки коэффициентов регрессии |
Standard Error of Est. |
Стандартное отклонение от среднего отклика, % |
Starting At |
Начать с |
StatAdvisor |
Консультант по статистике |
StatFolio |
Ваш собственный статистический проект (собственный алгоритм статистического анализа многократно повторяющихся данных) |
StatFolio Start-Up Script |
Начальный сценарий StatFolio |
Statistical Tolerance Limits |
Статистические граничные пределы |
StatGallery |
Инструмент комбинирования текста и графиков |
StatLink |
StatLink |
StatPublish |
StatPublish |
StatReporter |
StatReporter |
StatWizard |
Помощник по вопросам статистики |
Status Bar |
строка состояния |
Stnd. kurtosis |
Стандартная погрешность эксцесса |
Stnd. skewness |
Стандартная погрешность коэффициента асимметрии |
Subset Analysis |
Подмножество анализов |
Sum |
Сумма величин в выборке |
Sum of Squares |
Сумма квадратов |
Tabulation |
Таблица, табличные данные, составление таблиц |
Tile |
Расположение окон рядом |
Time-Weighted Charts |
Средневзвешенные во времени графики |
Toolbar |
Панель инструментов |
Toolwear Chart |
График износа инструмента |
Toolwear Individuals Chart |
График износа инструмента по индивидуальным значениям |
T-Statistic |
t-критерий проверки Стьюдента |
Two Samples Comparison |
Сравнение двух выборок |
UCL (Upper Control Limit) |
Верхняя граница регулирования |
Undo |
Отмена выполненных действий |
Univariate Plot |
График одной случайной переменной |
Untitled |
Пиктограмма |
Untitled Comments |
Неименованные компоненты |
Update Formules |
Корректировка формул |
Upper quartele |
Верхний квартель |
Variables Control Charts - X-bar and R |
Количественная контрольная карта средних и размахов |
Variables Control Charts - X-bar and S |
Количественная контрольная карта средних и СКО |
Variables Control Charts - X-bar and S-squared |
Количественная контрольная карта средних и дисперсий |
Variables Control Charts -Individuals |
Количественная контрольная карта индивидуальных значений |
Variable Dependent |
Переменная зависимая |
Variable Independent |
Переменная независимая (предиктор) |
Variance |
Выборочная дисперсия |
Variances Components |
Компоненты дисперсии |
View |
Режим представления данных |
View Published Results |
Просмотр результатов |
Weibull Analysis |
Оценка параметров распределения Вейбулла |
Window |
Окно |
Within Groups |
Внутри групп |
X-Y Plot |
Двумерный график в координатах X-Y |
X-Y-Z Plot |
Трёхмерный график в координатах X-Y-Z |
Примечания: 1.Приведенные термины в первом приближении позволяют судить о возможностях системы STATGRAPHICS Plus for Windows, значительно более широких, чем это описано в настоящем пособии. Но чтобы ими воспользоваться, необходимо достаточно глубоко разобраться с содержательной стороной каждого вида анализа данных.
2.Система STATGRAPHICS Plus for Windows позволяет не только анализировать данные пассивного эксперимента, но и планировать активный эксперимент, то есть выбирать оптимальное число опытов, координаты факторного пространства (уровни факторов), в которых следует проводить опыты, а также рандомизировать порядок проведения опытов. После проведения опытов система оценивает параметры соответствующего уравнения регрессии. Наконец система предоставляет широкие возможности в технике контрольных карт.
3.Определения отдельных терминов можно найти в ГОСТ Р 50779.11-2000 и в журналах «Стандарты и качество» за 2008-2009 годы.
Литература
1 Метрология в металловедении. Часть 1. Методическое пособие / С.И.Архангельский, И.В.Тихонова. - Тула: ТулГУ, 2008. 56 с.
2 Метрология в металловедении: Часть 2. Методическое пособие / С.И.Архангельский, А.Е.Гвоздев, И.В.Тихонова. - Тула: ТулГУ, 2008. 38 с.
3 Дюк В. Обработка данных на ПК в примерах.– СПб: Питер, 1997. 240 с.
4 Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ//Пер. англ. –М.: Статистика, 1973. 392 с.
5 Архангельский С.И., Гринберг Е.М., Тихонова И.В. Графический анализ результатов измерений. – Тула, ТулГУ, 2009. 34 с.
6 Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики / Пер. с англ. – М.: Финансы и статистика. 1982. 344 с.
7 Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1991. 304 с.