7. Граничний перехід під знаком інтеграла по множині скінченної міри.

Теорема 1 (А.Лебега). Якщо послідовність вимірних на множині функцій поточково на збігається до і існує сумовна на функція така, що

, (1)

то є інтегрованою на і

. (2)

Приклад 1. Послідовність поточково на збігається до і . Тому .

Приклад 2. Якщо ­–вимірна множина скінченної міри і послідовність вимірних інтегровних на функцій рівномірно на збігається до функції , то функція є інтегровною на і . Справді, з рівномірної збіжності випливає, що . для деякого і всіх . Тому є інтегровною. Крім цього, знайдеться таке , вимірних для всіх і всіх . Залишилось скористатись теоремою Лебега.

Теорема 3 (Б.Леві). Нехай – послідовність сумовних функцій на множині скінченної міри,

,

і

.

Тоді майже скрізь на існує скінченна границя і

.

Приклад 1. Послідовність поточково на збігається до і . для всіх і всіх . Тому .

Теорема 4 (П.Фату). Якщо –множина скінченної міри –послідовність невід’ємних сумовних функцій на множині ,

, (1)

і

, (2)

то функція є сумовною на і

. (3)

Наслідок 1. Якщо послідовність невід’ємних і сумовних на функцій збігається майже скрізь на до функції ,

,

то функція є сумовною і

.►

Приклад 1. Послідовність для кожного збігається до і

.

Отже, в даному випадку в (3) має місце строга нерівність. Тому не можна стверджувати, що за виконання умов леми Фату

.

8. Інтеграл Лебега по множині нескінченної міри. Нехай – множина нескінченної міри і така існує послідовність скінченної міри, для якої і . Інтегралом Лебега невід'ємної вимірної на функції називається границя

. (1)

Невід'ємної вимірна на множині функції називається інтегрованою на , якщо границя (1) є скінченною. Це означення є конкретним. Справді, границя (1) (скінченна або нескінченна) існує для кожної розглядуваної послідовності , бо числова послідовність

є неспадною. Крім цього, границя (1) не залежить від послідовності . Інтегралом вимірної на функції називається символ

, (5)

де

, .

Вимірна функція називається інтегрованою на , якщо інтегрованою на є кожна з функцій і (вони невід'ємні) Використовуючи рівності

, ,

переконуємось, що всі теореми п.п. 4-8 залишаються справедливими і для інтегралів по множині нескінченної міри. Виключення становить теорема 1 п. 4.(функція не є інтегрованою на множині нескінченної міри).

Зауваження 1. Всюди вище ми ніде не використовували, що –лінійна міра на . Тому все сказане вище в даному розділі справедливе для довільної зліченно-адитивної -скінченної і повної міри, визначеної на довільній -алегебрі. Скзане не стосується правда розглядуваних прикладів.