Інтеграл Лебега

Розділ 4. Інтеграл Лебега

Нагадаємо, що інтеграл Рімана визначається як границя інтегральних сум: , де , і . Проте, ряд достатньо простих функцій не є інтегровними за Ріманом. До таких належать, зокрема, функція Інтеграл Лебега є узагальненим інтегралом Рімана. Основна ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що множиться не на , а на міру множини тих , в яких функція приймає значення близькі до . Завдяки цьому інтегрованими за Лебегом на множині скінченої міри є, зокрема, всі вимірні обмежені функції, до яких належить вище вказана функція. Далі введемо поняття інтеграла Лебега функції , якщо і –лінійна міра Лебега на . Відповідні не змінюються суттєво, якщо –довільна вимірна множина і –довільна зліченно-адитивна, -скінченна міра.

1. Прості функції. Функція називається простою на множині , якщо її множина значень на є скінченною або зліченною. Графік простої функції складається з точок і відрізків паралельних осі . Наприклад, функція є простою.

Теорема 1. Для того щоб функція , множина значень якої є скінченною або зліченною, була вимірною, необхідно і достатньо, щоб всі множини були вимірними.

Доведення. Нехай – вимірна функція. Оскільки

,

то мусить бути вимірною. Нехай усі множини є вимірними. Тоді для кожного множина є об’єднанням скінченної або зліченної кількості множин і, отже, є вимірною множиною. ►

Теорема 2. Для того щоб функція була вимірною на множині , необхідно і достатньо, щоб множина була вимірною, і існувала послідовність простих вимірних на функцій , яка рівномірно на збігається до .

Доведення. Достатність випливає з властивостей вимірних функцій. Доведемо необхідність. Нехай – вимірна на і , якщо , де і . Тоді , – прості вимірні функції, для всіх і рівномірно на .►

2. Означення і найпростіші властивості інтеграла Лебега простої функції по множині скінченої міри. Нехай –вимірна множина скінченної міри, – проста вимірна функція, – множина її значень, . Інтегралом Лебега простої функції по множині скінченної міри називається ряд:

. (1)

Проста функція називається інтегрованою або сумовною на множині , якщо ряд (1) є абсолютно збіжним.

Теорема 1. Якщо – сукупність скінченної або зліченної кількості вимірних попарно неперетинних множин, –множина скінченої міри, то для кожної простої функції

(2)

причому з існування інтеграла в лівій частині випливає існування інтегралів в правій і абсолютна збіжність ряду(2). Навпаки, з абсолютної збіжності ряду (2) випливає інтегрованість на множині .

Доведення. Нехай – множина значень функції на множині , . Тоді

.

Множини попарно неперетинні, і ,

, .

Звідси та означення інтеграла простої функції випливає твердження теореми. ►

Теорема 2. , якщо останні два інтеграли існують.

Теорема 3. для будь-якої числової сталої , якщо останній інтеграл існує.

Теорема 4. для будь-яких чисел і , якщо останні інтеграли існують.

Теорема 5. Якщо – проста інтегрована функція, то

.

Теорема 6. Якщо проста функція і , то

.

Теорема 7. для будь-якої вимірної множини .

Теорема 8. Якщо проста невід’ємна на функція є інтегрованою на , то

.

Теорема 9. Якщо вимірна проста функція, то

.

Приклад 1. , якщо

Приклад 2. Якщо , , то функція є простою, , , для і

.

3. Означення сумовної функції і її інтеграла Лебега на множині скінченної міри. Нехай – множина скінченної міри. Функцію назвемо сумовною або інтегрованою за Лебегом на множині за мірою , якщо є вимірною на і існує послідовність простих інтегрованих на функцій , яка рівномірно на збігається до . Границю

(1)

назвемо інтегралом Лебега функції по множині за мірою .

Наступні три теореми обґрунтовують коректність цього означення.

Теорема 1. Границя (1) для будь-якої рівномірно збіжної на множині послідовності простих інтегрованих на функцій існує.

Доведення. Справді, нехай . Тоді

. ( 2)

Оскільки рівномірна збіжність на рівносильна збіжності за – нормою на , а збіжна послідовність є фундаментальною, то з (2) випливає фундаментальність, а тому і збіжність, в послідовності . Отже, границя (1) існує. ►

Теорема 2. Границя (1) не залежить від вибору послідовності .

Доведення. Якщо і – дві рівномірно збіжні до на послідовності простих інтегровних функцій, то такою ж є послідовність

(3)

Послідовність (3) також рівномірно збігається на до . Отже, за теоремою 1 для неї існує границя (1). Але послідовності і є підпослідовностями послідовності (3). Звідси випливає твердження теореми 2. ►

Теорема 3. Якщо – проста функція, то означення інтеграла (1) співпадає з раніше наведеним.

Доведення. Справді, досить взяти сталу послідовність .►

Приклад 1. Якщо для , то функції є простими на множині і послідовність рівномірно на збігається до функції . При цьому,

.

Тому .