Тема 3.2 кривые второго порядка.

Краткие теоретические сведения:

[1]: Гл.4.

О кружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

- уравнение окружности.

Эллипсомназывается геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и  F2 , называемых  фокусами эллипса, есть величина постоянная. (Рисунок 5.) Рисунок 5.

Уравнение эллипса имеет вид: . При  a>b фокусы эллипса лежат на оси ОХ, при  a<b  фокусы эллипса лежат на оси ОY, при  a = b  эллипс становится окружностью. ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом,  окружность есть частный случай эллипса!

Отрезок  F1F2 = 2 с ,  где называется фокусным расстоянием.

Отрезок  AB = 2a называется большой осью эллипса.

Отрезок  CD = 2b – малой осьюэллипса.

Число  e = c / a ,  e< 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Гиперболойназывается геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F1 и F2 , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная. (Рисунок 6.)

Рисунок 6.

Отрезок  F1F2 = 2 с ,  где называется фокусным расстоянием.

Отрезок  AB = 2aназывается  действительной осью гиперболы.

Отрезок  CD = 2b –  мнимой осьюгиперболы.

Число  e = c / a ,  e> 1 называется эксцентриситетомгиперболы.

Прямые   y= ± (b / a)x называются асимптотами гиперболы.

Уравнение гиперболы имеет вид: .

Если а=в, то гипербола называется равнобочной и ее уравнение имеет вид: .

Если действительная ось одной гиперболы служит мнимой осью другой, то такие гиперболы называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы. (Рисунок 7.)

Уравнение параболы имеет вид: y² = 2px.

Рисунок 7.

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: решение вариативных задач и задач по образцу.

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]:Гл.4, МУ с.34-36).

2. Решите задачи с построением кривых:

Окружность.

1. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9x-2y-41=0, 7x+4y+7=0, x-3y+1=0.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0), В(1;4), если ее центр лежит на прямой x+y-3=0.

3. Составить уравнение хорды окружности x²+y²=49, делящейся в точке А(1;2) пополам.

4. Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке А(3;0) и имеющей радиус равный 6.

5. Центр окружности находится в точке О(-3;1). Составить уравнение окружности, касающейся прямой 4x+3y-16=0.

Эллипс.

1. Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А(-6;0) и В(6;0), а фокусы в точках (-4;0) и (4;0).

2. Составить уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках задачи 1, а эксцентриситет 0.8.

3. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если его большая ось 14, а эксцентриситет 2/3.

4. Составить уравнение эллипса, если его вершины находятся в точках (-8;0) и (8;0), а фокусы в точках (0;-6) и (0;6).