Исследование функции двух переменных на экстремум, наибольшее и наименьшее значение.

называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) называется экстремумом функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых все ее частные производные обращаются в нуль или не существует хотя бы одна из них.

Для функции исследование знака приращения можно заменить рассмотрением знака дискриминанта , где

При этом:

1. если , то - точка экстремума (max при A<0 и min при A>0)

2. если D<0, то - не является точкой экстремума

3. если D=0, то требуется дополнительное исследование

Задача 2.Найдите экстремумы функции .

Решение:

Найдем частные производные:

В данном случае критическими точками служат те точки, в которых частные производные обращаются в нуль.

- критические точки

Для : не является точкой экстремума.

Для - является точкой экстремума.

Так как , то - точка минимума.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области, необходимо:

1. найти критические точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках;

2. найти критические точки на границе области и вычислить значения функции в этих точках;

3. выбрать среди полученных в п.1 и п.2 значений наименьшее и наибольшее

Задача 3.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции в треугольнике D, ограниченном прямыми x=0, y=0, x+y=8. (Рисунок 2.)

Решение:

Рисунок 2.

1. Найдем критические точки, лежащие внутри данного треугольника

Внутри треугольника

2. Граница области состоит из трех участков ОА, АВ и ВО, которые имеют различные уравнения:

ОА: y=0

BO: x=0

z=0

AB: y=8-x

3.Найдем наибольшее и наименьшее значения функции:

достигается на границе области

достигается внутри области

Вычисление двойного интеграла.

Пусть в некоторой ограниченной замкнутой области D плоскости xOy задана непрерывная функция . Разобьем эту область произвольным образом на n частных плоских ячеек с площадями ΔS₁, ΔS₂, … , ΔS_n . В каждой такой ячейке выберем по одной произвольной точке P₁, P₂, …,P_n и вычислим значение функции f(p) во взятых точках. Составим интегральную сумму:

_n

Σf (P_i) ΔS_i = f (P₁) ΔS₁ + … + f (P_n) ΔS_n (1)

ⁱ⁼¹

Двойным интегралом от функции f (P) по области D называется предел интегральных сумм (1) при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех ячеек данного разбиения:

_n

∫∫f (P)ds = lim ∑f (P_i ) ΔS_i

^{Dmaxdi->0 i = 1}

При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах ∫∫f (x,y) dxdy возможны следующие случаи: ^D

1. Область D на плоскости xOy является простой относительно оси ox, т.е. проектируется в некоторый отрезок оси ох так, что любая прямая, параллельная оси оу и проходящая внутри отрезка, пересекает границу области в двух точках.

Если нижняя или верхняя граница области D состоит из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D следует разбить на части прямыми, параллельными оси оу и проходящими через точки, в которых «стыкуются» различные участки границы

2. Область D на плоскости хОу – простая относительно оси оу, т.е. проектируется в некоторый отрезок оси оу, так, что любая прямая, параллельная оси охи проходящая внутри отрезка пересекает границу области в двух точках.

Если левая или правая граница области D состоит из некоторых участков, имеющих различные уравнения, то область D следует разбить на части прямыми, параллельными оси ох и проходящими через точки, в которых «стыкуются» различные участки границы.

3. Область D не удовлетворяет условиям, сформулированным в п.1 и п.2. В этом случае ее надо разбить на конечное число областей, каждая из которых удовлетворяет этим условиям.

Задача 4. Вычислите ∫∫(х+2у)dxdy по области D, ограниченной параболой

y = x²/2 и прямыми y=3x, x=1, x=2. (Рисунок 3.)

Решение:

Рисунок 3.

Область D – простая как относительно оси ох, так и относительно оси оу. Спроецируем ее на ось ох и получим:

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №14 на тему «Нахождение частных производных и дифференциалов».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.22-23).

2. Ответьте на вопросы:

- Дайте определение функции двух переменных.

- Что называется частной производной функции? Частным дифференциалом? Полным дифференциалом? Смешанной производной?

- Сформулируйте правило для нахождения частных производных высшего порядка.

- Каким свойством обладают смешанные производные непрерывных функций?

Самостоятельная работа №2.

Вид работы: подготовка к практической работе №15 на тему «Исследование функций двух переменных на экстремум, наибольшее и наименьшее значения».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.23-25).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется функцией двух переменных?

- Какая область называется замкнутой?

- Дайте определение частной производной функции, полного дифференциала функции, смешанной производной.

- Что называется частной производной высшего порядка?

- Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

- Сформулируйте алгоритмы исследования функции двух переменных на наибольшее и наименьшее значения, экстремум.

Самостоятельная работа №3.

Вид работы: изучение материала на тему «Приложения двойного интеграла».

Форма организации работы: индивидуальная.

Порядок выполнения работы:

1. Изучите материал согласно следующему плану:

1.1 Геометрические приложения двойного интеграла.

1.2 Физические приложения двойного интеграла.

2. Подготовьте выступление в свободной форме продолжительностью не более 5 минут. При необходимости сопроводите выступление слайдами, картинками.

3. Выделите основные мысли доклада и (или) формулы для записи однокурсникам.

Самостоятельная работа №4.

Вид работы: подготовка к практической работе №16 на тему «Вычисление двойного интеграла».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.16, МУ с.23-26).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называется двойным интегралом?

- Перечислите основные свойства двойного интеграла.

- Какие случаи различают при вычислении двойного интеграла в декартовых координатах?